Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 133

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 254 >> Следующая


70. Hawking S. W., Penrose R., Proc. Roy. Soc., A314, 529 (1970).

71. Press W. H., Ap. J., 170, Ll05 (1971).

72. Davis M., Ruffini R., Press W. H., Price R. H., Phys. Rev. Lett., 27. 1466 (1971).

73. Cameron A. G. W., Nature, 229, 178 (1971).

74. Wilson R. E., Ap. J., 170, 529 (1971). Часть IV РАЗВИТИЕ ФОРМАЛИЗМА

Вы могли бы с полным основанием согласиться, что принцип минимальности справедлив, но в действительности он не лучше, чем другой принцип. Однако же перейдите из лекционного зала в ванную и посмотрите на большой палец вашей ноги в воде. Ваши ноги не покажутся вам стройными, поскольку скорость света в воде отличается от скорости света в воздухе. Принцип Ферма подскажет вам, как при таких условиях описать картину, и Вам не обязательно при этом помнить о законе Снеллиуса об углах. Кто будет колебаться, какое из научных объяснений лучше?

Пауль Е. Самуэлъсон, Принципы максимума в аналитической экономике, Нобелевская лекция, 11 декабря 1970 г.

Глава 12

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Имеется множество физических систем, динамические уравнения которых могут быть получены с помощью «принципа наименьшего действия», т. е. на основании утверждения, что некий функционал от динамических переменных, «действие», стационарен относительно малых вариаций этих переменных. Такой вывод динамических уравнений имеет одно большое преимущество: он позволяет установить непосредственную связь между принципами симметрий и законами сохранения.

Симметрия действия, с которой в основном мы имеем дело в этой книге,— это общая ковариантность. В этой главе мы дадим общее определение тензора энергии-импульса любой материальной системы как функциональной производной от действия системы. Применение принципа действия и общей ковариантности позволит нам затем показать, что этот тензор в самом деле сохраняется.

Чтобы получить действительно общую формулировку теории относительности с помощью принципа действия, необходимо исследовать вопрос, который мы тщательно обходили до сих пор: 382

Гл. 12. Принцип наименьшего действия

каким образом включить эффекты гравитации в теорию поля частиц с полуцелым спином? Чтобы ответить на этот вопрос, надо развить некий подход к общей теории относительности, связанный с «тетрадным формализмом». В нем непосредственно используются семейства локально-инерциальных систем, которые служили отправным пунктом в гл. 3. Хотя доказательства выглядят сложнее, но тензор энергии-импульса в нем получается симметричным и сохраняющимся.

§ 1. Принцип наименьшего действия для вещества.

Пример

Начнем с того, что рассмотрим в качестве примера физическую систему, уравнения движения которой могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия. Такой системой является плазма, состоящая из несоударяющихся п частиц с массами тп и зарядами еп, а также электромагнитного поля Fjiv (х), которое они создают. Уравнения движения в произвольном внешнем гравитационном поле guv имеют вид

+1? (*») ^ ^==(?) п ы ^ , (12.1.1)

dxn = (-gilvdxn»dxnv)1/2, (12.1.2)

JL WW) Fliv (X)]= -S еп ^ (X-Xn)^dnnt (12.1.3)

П

І f^ {х) f^ {х) f^ {х) = (12Л -4> [См. уравнения (5.2.9), (5.1.11), (5.2.6), (5.2.13) и (5.2.7).] Для того чтобы удовлетворить (12.1.4), введем вектор-потенциал All (х):

fWM=^-9W' (12Л-5)

Независимыми динамическими переменными можно тогда считать A11 (х) и xnv (р), где р — некоторая величина, которая одновременно параметризует все пространственно-временные траектории различных частиц.

Рассмотрим следующую функцию в качестве действия системы:

] dpi-g^b»)*»;™

П -OO

-і j dW (X)Fliv(X) Fiiv (X) +

OO

+ Se" і dP dXnlpP) K(xn(P)). (12.1.6) § 1. Принцип наименьшего действия для вещества. Пример 383

[Символ M должен напоминать нам, что рассматривается действие только вещества и излучения, a g^v (х) учитывается как внешнее гравитационное поле.] Тогда ясно, что Fliv (х) определяется выражением (12.1.5) и индексы у Fiiv поднимаются с помощью контравариантного метрического тензора, как обычно.

Принцип наименьшего действия утверждает, что действие і м не изменяется при бесконечно малых изменениях динамических переменных:

х^ (р) -у х^ (р) + ба^ (р), где бх^ (р) -> 0 при |р| оо, Ail (х) -> All (х) + (х), где бЛр, (х) -> О при | х% | -»- оо,

в том и только в том случае, если Xv- (р) и All (X) подчиняются динамическим уравнениям (12.1.1) — (12.1.3). Чтобы убедиться, что это верно, вычислим изменение I м, возникающее при этих смещениях без дополнительных предположений о том, что удовлетворяются (12.1.1) — (12.1.3):

OO

п —<х>

/J^vHx dxj(p) dxnv (P) , ->

+ V to* ^p

- ( d^gVi (x) F^ (x) -4- 6^4V (x) + J dx^

OO

+ J dp Л (Xn(P)) +

П -OO

+(^U« W+^ ^ (- W)} ¦

Теперь удобно перейти от переменной интегрирования P K Tn, определяемой выражением (12.1.2). Получаем

0/м = І2т„ j dxn { 2gilk (xn)

dxj doxj

din

^v (?) dxTI1 dxnv ^ x Л _

дхпк ^n d%n 71 J

J dkxgx!2 (x) F^ (x) -Ljr Mv (x) + 384

Гл. 12. Принцип наименьшего действия
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed