Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
+ copv (Х) Vvv (х) -±- Fav (х) +coav (Х) Fpv (х) х
Умножая это на OaP и применяя правила коммутации (12.5.22), находим, что формулу преобразования (12.5.23) можно переписать в виде
Гц (*) =¦т °a?v«V (*) д. (12.5.24) 396
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
Итак, воздействие гравитации на любую физическую систему можно учесть, если в действии для вещества или уравнения^ поля, установленных в специальной теории относительности заменить все производные д/дха «ковариантными производны ми» Sa'.
Sa ^ Vaix-Lr+4 c?vVpvV/Fvv; (12.5.25)
Этот рецепт позволяет найти действие для вещества или уравнения поля, инвариантные относительно преобразований координаї общего вида, причем Va^ в них рассматривается как 4-вектор, а все другие поля — как скаляры, не зависящие от выбора ло-кально-инерциальной системы отсчета при определении тетрады.
Как задать тензор энергии-импульса в этом формализме? Вариация SFa^ тетрадного поля будет приводить к следующему изменению лагранжевой функции вещества:
бIm = j frx VgVavW** (12.5.26)
где Uall — координатный вектор и лоренцев вектор. Попробуем определить тензор энергии-импульса следующим образом:
Tliv = VailUav. (12.5.27)
Чтобы убедиться, что выражение (12.5.27) подходит для тензора энергии-импульса, надо также проверить, симметрично ли оно:
Tiiv=Tvil, (12.5.28)
и выполняются ли законы сохранения:
(7? = 0. (12.5.29)
Свойство симметрии тензора энергии-импульса отнюдь не очевидно в тетрадном формализме. Оно должно быть выведено из свойства инвариантности действия для вещества относительно инфи-нитезимальных лоренцевых преобразований:
Aa? (x) = 6«?-f-coa? (х),
где
IfflttP (S) I «1.
Эти преобразования приводят к малым смещениям всех динамических переменных, однако предполагается, что действие для вещества стационарно относительно вариаций каждой из этих переменных, исключая вариацию тетрады, которая входит в Im как внешнее поле. Поэтому нам необходимо лишь учесть изменение (12.5.11) тетрадного поля:
07/(я) =O0P (х) Vp11(X). (12.5.30) § 5. Тетрадный формализм
397
Подставляя (12.5.30) в (12.5.26), находим, что инвариантность действия для вещества относительно зависящих от положения преобразований Лоренца требует, чтобы
J frx YWuavi (х) V^ (х) coa? (х) = 0.
Но COccl5 (х) — произвольная функция, за исключением требования антисимметрии (12.5.19), а потому коэффициент при со„р (х) должен быть симметричным:
UavV^ = UtillVa*.
Умножая это соотношение на V$vVa% и учитывая (12.5.7), находим
UavVal-=UW^, (12.5.31)
что совпадает с требуемым условием симметрии (12.5.28).
Чтобы показать, что тензор энергии-импульса, введенный с помощью (12.5.27), сохраняется, надо воспользоваться инвариантностью лагранжевой функции вещества при инфинитези-мальном преобразовании координат
= + (х),
где І є^ I очень мало. Такое преобразование изменяет тетрадное поле на бесконечно малую величину:
OV/ (х) (X) =
= Va^ (X) ^JL-^fL (X) (12.5.32)
[сравните с выражением (12.3.1)]. Все другие координатные скалярные поля ф(х) изменяются при этом следующим образом:
бф (х) = ф' (х) — ф (х) = — -^pr-C* (х).
Однако действие для вещества Im снова стационарно относительно вариаций этих полей, а потому в ней нужно учитывать только вариацию тетрадного поля. Подставляя (12.5.32) в (12.5.26), находим, что инвариантность лагранжевой функции вещества Im относительно преобразований координат общего вида требует, чтобы
Но (х) произвольно, а потому после интегрирования по частям мы можем приравнять коэффициент при 8х (х) нулю, что дает
(VWJV) + Vl V» -?. 398
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
Подставляя сюда выражения (12.5.27) и (12.5.8), представляем это соотношение в виде
-^(VgT\)+Vg TvilVavLZjf = 0. (12.5.33)
Согласно (12.5.1), метрический тензор связан с тетрадой следующим образом:
^ = VavVmt
поэтому
_ уav SV0Jx . yaii dVav дх% дх% dxx
Так как Tiiv симметрично, соотношение (12.5.33) можно теперь переписать так:
0(VgT\) +±VgT»»iJ- ¦ (12-5-34>
Кроме того, (3.3.1) и (4.7.6) приводят к соотношениям
дх дх
д Jt
-^-Inyjr=Tvb
так что (12.5.34) совпадает с обычным законом сохранения (12.5.29).
Таким образом, определение тензора энергии-импульса (12.5.27) вполне удовлетворительно. Отметим, однако, что если бы действие для вещества не было инвариантно относительно зависящих от положения преобразований Лоренца, то Tliv не только не было бы симметричным, но и не сохранялось бы.
Полное действие для вещества и гравитации — это, как и выше, сумма
I — Im + Ig,
где Ig определяется выражением (12.4.2). Вариация тетрады будет приводить к следующему изменению метрики в соответствии с (12.5.1):
SgiLv = FVVccv + VavWail = - + SvhVaiA OFД
так что (12.4.3) дает следующее изменение гравитационной функции Цитированная литература
399
Лагранжа:
б/с= ~Ш J -TfilifcilJfV^4*- (12.5.35)
Полное действие должно быть стационарно относительно вариаций тетрадного поля, а потому (12.5.26) и (12.5.35) приводят к уравнению
