Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, зная 1? и |х; v в некоторой точке, можно найти вторые производные ОТ |х (х) в точке X с помощью соотношения (13.1.9), а затем последовательно найти более высокие производные от |х в точке X, взяв производные от (13.1.9). Все производные от в точке X. таким образом, будут найдены в виде линейных комбинаций (X) и Hv, v (X). Тогда функцию |х (х) можно построить (если она существует) в виде ряда Тейлора по Xk — Xk в некоторой окрестности точки X. Эта функция также будет линейной по первоначальным величинам Hx (X) и Hv, v (X). Таким образом, любой вектор Киллинга |ри (х) метрики gliv (х) может быть выражен следующим образом:
Ipn (х) =Apx (х; X) Hxn (X) +Vv (X-, X) |Х; vn (X), (13.1.10)
где Ap^ и Bplv — функции, которые, конечно, зависят от метрики и от положения точки X, но не зависят от первоначальных величин Ix (X) и Нх; v (X), а потому они являются одними и теми же для всех векторов Киллинга. Каждый вектор Киллинга Hp (X) для данной метрики задается единственным образом значениями Hp (X) и |р; a (X) в любой конкретной точке X.
Говорят, что набор векторов Киллинга независим, если эти векторы не удовлетворяют никакому линейному соотношению типа
ScllIpn(X) = O, (13.1.11)
п § 1. Вектори Киллинга
403
где сп — постоянные коэффициенты. Выражение (13.1.10) утверждает, что может существовать не более чем N (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга в N-мерном пространстве. Рассмотрим, например, какие-либо M векторов Киллинга |p"(a:). Для каждого п имеется N величин Ер™ (Z) и N (N — 1)/2 независимых величин |p;v (X) [вспомним соотношение (13.1.5)], а потому можно считать величины |pn (X) и Epiv(X)' компонентами M векторов в N (N jT 1)/2-мерном пространстве. Если M > N (N + 1)/2, то эти M векторов не могут быть линейно-независимыми, следовательно, между ними должно существовать соотношение типа
ScnIpn(Z) = Scn^v(Z) = O.
п п
Тогда выражение (13.1.10) утверждает, что векторы Киллинга ?р™ (х) удовлетворяют соотношениям (13.1.11) повсюду, а потому не являются независимыми.
Этот результат имеет смысл только потому, что мы определили независимые векторы Киллинга как векторы, которые не связаны никакими линейными соотношениями с постоянными коэффициентами. В некоторой данной точке X в /V-мерном пространстве любой набор более чем N векторов Киллинга, конечно, будет связан одним или несколькими линейными соотношениями, подобными (13.1.11). Однако коэффициенты сп в этих линейных соотношениях иногда могут зависеть от х*. Предыдущая теорема утверждает, что любой набор более чем N (N + 1)/2 векторов Киллинга будет связан линейными соотношениями с постоянными коэффициентами.
Говорят, что метрическое пространство однородно, если существуют иыфинитезимальные изометрии (13.1.3), которые переводят любую данную точку X в любую другую точку в окрестности точки X. Другими словами, метрика должна допускать существование векторов Киллинга, которые в любой данной точке принимают все возможные значения. В частности, в /V-мерном пространстве мы можем задать набор N векторов Киллинга (х, X), обладающих свойством
E^ (X; X) =6Д
Эти векторы, очевидно, являются независимыми, поскольку из любого соотношения типа CmEv^ (х; X) следовало бы, что в точке X все Cx равны нулю.
Говорят, что метрическое пространство изотропно в данной точке X, если существуют инфинитезимальные изометрии (13.1.3), оставляющие фиксированной точку X, так что (X) = 0, и первые производные Ex; v (Z) в этой точке принимают все возможные значения, подчиняясь лишь условию антисимметрии (13.1.5). В частности, в /V-мерных пространствах можно задать набор
26* 404
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
N (N — 1)/2 векторов Киллинга, подчиняющихся условиям lx^v) (X-, X)=- Sbfvw (х; X), |х(М (X; X) ==0, І*р(,и)(X; X)]^ = o/opv-Sp%v-
Эти векторы являются независимыми, поскольку любое соотношение типа cMV|^v) (X] X) = 0, в котором Cjiv = —cV(1, предполагало бы, что в точке X с%р — срх = 2схр = 0.
Мы будем также иметь дело с пространствами, которые изотропны в окрестности каждой точки. В этом случае существуют векторы Киллинга, I^iv' (х\ X) и Ixvlv' (х; X + dX), которые удовлетворяют найденным выше начальным условиям в точках X и X + dX соответственно. Любая линейная комбинация их будет вектором Киллинга, и, следовательно, d?l?v) (X-, Х)/дХР также будет вектором Киллинга для этой метрики. Для того чтобы вычислить этот вектор Киллинга в точке X = X, необходимо лищь вспомнить, что Ixtiv' (X; X) равняется нулю, следовательно,
д г„„ч г o?»(,iv) X)-, г (х\ X) п
-IrbO-.(X; X, = P^r-ILx + [
Это дает
Теперь очевидно, ЧТО МОЖНО построить вектор Киллинга Ix (X), принимающий любое произвольное значение ах в точке х = X; надо лишь задать
Поэтому любое пространство, изотропное в окрестности каждой его точки, является также однородным.
Говорят, что метрика, допускающая максимальное число N (N 1)/2 векторов Киллинга, максимально симметрична. В частности, пространство, которое и однородно и изотропно в окрестности некоторой заданной точки X, допускает существование N (N + 1)/2 векторов Киллинга Iirt {х; X) и Iiliv' (х; X). Такие векторы Киллинга, очевидно, независимы, поскольку если они удовлетворяют линейному соотношению
