Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Сверхмассивные звезды
Теперь мы рассмотрим звезды другого вида [30, 31], которые общая теория относительности описывает совершенно иным образом. Представим себе ньютоновскую звезду, которая существует за счет давления излучения, а не вещества. Условия, при которых это возможно, будут разобраны в дальнейшем. Предположим также, что звезда находится в состоянии конвекционного равновесия § 1 гл. 11) и имеет однородный химический состав. Плотность энергии излучения равна е = Зр, а потому эта звезда будет политропой су = iI3, т. е.
P = KpiIK (11.5.1)
Давление излучения задается законом Стефана — Больцмана
Ризл — ¦ 45йз ' (11.5.2)
так что при р a; ризл температура определяется следующим образом:
W = (^)V'. <И-5-3> § 6. Сверхмассивные звезды
351
K=(J^-\,\ (Ц.5.6)
V mWW / V '
Давление вещества в этом случае подчиняется закону идеального газа
/W=P^. (11.5.4)
т.
где т — средняя масса частиц газов. Таким образом, отношение давления вещества к давлению излучения равняется
г Ризл п2т (кТ)3 т \ / ^ >
Оно является константой по всему объему звезды, поэтому можно, используя ? вместо К (или энтропию на один нуклон, от которой они обе зависят), задать уравнение состояния в виде
45?3 \Уз т'іл2^
Тогда, согласно уравнению (11.3.17) и данным табл. 11.1, масса политропы с у = iI3 равняется
M = 4я (2,01824) (^-)3/2. (11.5.7)
Используя (11.5.6.), получаем
M = ^ (2,01824) ^7 = ISM0 ( j2 P-«. (11.5.8)
Для ионизованного водорода при температуре в интервале IO5 — IO10 К масса т есть среднее между массами протона и электрона, что составляет т « mj2. Таким образом, в этом случае, условие, при котором давление излучения превышает давление вещества, скажем, в 10 раз, выглядит так: M > 7200Mq. Никаких подобных сверхмассивных звезд с достоверностью не наблюдали, но их рассматривают как возможные источники лучистой энергии при гравитационном коллапсе [30, 31].
Строение сверхмассивных звезд полностью определяется уравнениями для ньютоновской политропы су« 1I3. В частности, уравнение (11.3.16) приводит к следующему радиусу для таких звезд:
R = 6,89685 (^)1/2р(0Г1/з. Подставляя сюда (11.5.6), получаем
Д = 6,89685 (^)1/б_4г^2/з P(O)-1^. (11.5.9)
Этот радиус ограничивается нашим предположением, что энергия массы покоя звезды много больше, чем ее энергия излучения, и уж, конечно, больше, чем тепловая энергия ее вещества. 352
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
Это условие имеет вид
J^ikTY 15ЙЗ ^ P
или, подставляя сюда (11.5.3) и (11.5.6), получаем
PCwiS1- (11.5.10)
Плотность р максимальна в центре, поэтому можно считать, что это условие наложено на р (0). Используя (11.5.8) и (11.5.9), чтобы представить ? и р (0) через MmR, условие (11.5.10) записываем в виде
Это эквивалентно утверждению, что гравитационный потенциал мал, которое также делалось. При M = IO4Mq выражение (11.5.11) требует, чтобы выполнялось условие R 4-Ю4 км.
Хотя нет необходимости использовать общую теорию относительности для того, чтобы понять строение таких сверхмассивных звезд, она необходима, чтобы решить вопрос о стабильности. Политропа су = 4Z3 колеблется между состояниями стабильности и нестабильности, а потому необходимо принимать во внимание малые эффекты давления вещества и эффекты общей теории относительности, которые не играют существенной роли при расчетах структуры.
Используем теорему 1 из § 2 гл. 11, которая утверждает, что переход от состояния стабильности к нестабильности происходит при значении р (0), для которого внутренняя энергия E стационарна. Чтобы вычислить Е, воспользуемся выражениями (11.1.29) — (11.1.31), которые в первом порядке по GMlR дают следующий результат:
я R
E
j Апг2е (г) dr + j AnGraM (г) е (г) dr — о о
и и
- j AnGrJl (г) dr - j GnG2JP (г) р (г) dr. (11.5.12) о о
Тогда плотность внутренней энергии е равна
e_ «IJMTi , _L_pM^_3_ P1 , ? і
15 »8 ^r-I й ~~ Ршя1 ^ 3(Г-1) J'
где Г — отношение теплоемкостей вещества. (Для ионизованного водорода Г = 5/3.) Для полного давления имеем
P = Ризл + Рвещ = Ризл (1 + ?) • § 6. Сверхмассивные звезды
353
Следовательно, в первом порядке по малому параметру ? отношение плотности энергии к давлению составляет
e^3p[i- i^lZ4I ? + Q (?2)] ¦ (11.5.13)
Во втором слагаемом в (11.5.12) малой поправкой порядка ? можно пренебречь, поскольку она уже меньше первого слагаемого из-за коэффициента порядка GMlR, но эту поправку надо учесть в большом первом члене, следовательно, н R
E « [і - 33(ГІ?) Р] J i2nr2P W dr+ J Г2л0ггЛ W P (r) dr-0 о
R R
- j 4 nGrJd (г) dr - j QnG2Ji2 (г) р [r) dr -____ (11.5.14)
о о
Этот интеграл можно переписать, интегрируя по частям, следующим образом:
RR R
j 12пг2р (г) dr = j р (г) d (4лг3) = — j 4nrzp' (г) dr. оо о
Для того чтобы вычислить р' (г), разложим фундаментальное уравнение (11.1.13) по GMIR, удержав лишь первый порядок:
р (г) 4пг3р(г) 2GeM (г)
-гУ (г) « GJl. (г) р (г) [1+Ш + ^Е^ + ^Ш] , так что
RR R
j 12пггр (г) dr a; j Im-GrJl (г) р (г) dr + j AnGrJl (г) р (г) dr + о о о
