Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Систематическое рассмотрение гравитационного коллапса было бы слишком сложным в рамках этой книги. Для того чтобы получить некоторое понятие о том, как может происходить коллапс, рассмотрим один простейший случай [46] — сферически-симме-тричный коллапс «пылевидной» материи с пренебрежимо малым давлением х). Так как пылевидные частицы удерживаются чисто гравитационными силами, то они падают свободно, и мы можем использовать их как физический базис для сопутствующей системы координат типа той, что обсуждалась в предыдущем параграфе. Тогда метрика определяется выражением (11.8.8)
dx2 = dt2 — U (г, i) dr2 - V (г, t) (dQ2 + sin2 0 cZcp2). (11.9.1)
Тензор энергии-импульса жидкости с пренебрежимо малым давлением определяется выражением (5.4.2)
Zlliv = PtfliCrvf (11.9.2)
где р (г, t) — плотность собственной энергии, a U* — 4-вектор скорости, определяемой в сопутствующей системе координат выражениями (11.8.9) и (11.8.11):
Ur = Uq = Uv = 0, ZTf = I. (11.9.3)
*) Подробное обсуждение решения Оппенгеймера—Волкова и других сферически-симметричных решений см. в статьях [47—54]; асимметричный коллапс разобран в работах [55—57].
u__l_v_____v_
2U V 4?/2 2V2'
_ V' V'V UV' — V 2V2 2 UV' § 9. Гравитационный коллапс
369
При этом условие сохранения импульса (Г^г); ц = 0 удовлетворяется автоматически, а условие сохранения энергии выглядит так:
или, в другой записи
(PF^tf) = O. (11.9.4)
Уравнения поля Эйнштейна можно тогда записать в виде
Riiv= -SnGSilv, (11.9.5)
где
Siiv = Z1iw-T gilvT\ = р [і- ^v + UvUv] . (11.9.6)
Последнюю величину можно вычислить с помощью выражений (11.9.1) и (11.9.3); в результате найдем, что единственными неисчезающими компонентами S ^v являются
Srr = p-f-, See = P-^-, Sw-Seesin26, Sti=-|-. (11.9.7)
В частности, имеем
Str = 0. (11.9.8)
Подстановка (11.9.7), (11.9.8) и (11.8.14) -(11.8.17) в (11.9.5) приводит к "четырем уравнениям поля:
1 г у» у г _ [/'V'l U W UV _ , г ... „ д. U LF 2V2 ZUV J 2UV 4^Pj (11.У.У)
1 , IrF" U'V'-л V VU . п ... _ ...
-T + -L^F~WJ-2F-4FZ7=-4lt6P (11-9.10) • • • • • •
U • V U F2 -AnGp, (11.9.11)
2 UnV AU2 2 F2 V' V'V UV
V 2 F2 2UV
= 0. (11.9.12)
Произведем дальнейшее упрощение в модели, сделав предположение, что р не зависит от положения [46]. Будем искать решение с разделяющимися переменными в виде
U = R* (t) f (г), V = Si(t) g (г).
Тогда (11.9.12) требует, чтобы S/S равнялось R/R, а потому мы можем нормировать fug так, чтобы
S (t) = R (t).
24—0788 370
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
Далее, мы имеем право переопределить радиальную координату, так как она является некоторой функцией г от г, в частности можем выбрать г = V S (г)> так чт0 / и § заменятся на / = fg'2/Ag и g = г2. Опуская тильды, получаем
U = R2 (t) / (г), V = S2 (t) г2. (11.9.13) Уравнения (11.9.9) и (11.9.10) тогда принимают вид
-t^l-R(t)R(t)-2R2(t) = -AnGR2(t)p(t), (11.9.14)
[¦-¦+Tfhr] -Ш)WI} W-2i?2 W = -W P W•
(11.9.15)
Первые слагаемые в (11.9.14) и (11.9.15) должны, очевидно, равняться одной и той же постоянной, которую обозначим как —2к:
г (г) „__L4--I__Г(т) -2к
гР (г) г2 ^r г2/ (г) 2г/2 (г)
Единственное решение этого уравнения имеет вид
/ (г) = [1 - Ar2]"1, а потому метрика выглядит так:
dx2 = dt2-R2 (t) + г2(й2+г2sin2Gdcp2J. (11.9.16)
(Между прочим, эта метрика является пространственно-однородной, а также изотропной, она будет служить нам кинематической основой при изложении релятивистской космологии в гл. 14.)
Остается вычислить функции р (t) и R (t). Подставляя (11.9.13) и (11.9.14) в условие сохранения энергии (11.9.4), находим, что р (t) R3 (t) постоянно. Нормируем радиальную координату г следующим образом:
R (0) = 1, (11.9.17)
тогда имеем
р (t) = р (0) R-3 (t). (11.9.18)
Уравнения поля (11.9.14) или (11.9.15) и (11.9.11) теперь оказываются обыкновенными дифференциальными уравнениями:
-2k-R (t)R(t) — 2R2(t) = -AnGp (0) R~l (t), (11.9.19) R (t) R (t)=-^L р (0) і?"1 (t). (11.9.20) § 9. Гравитационный коллапс
371
Можно исключить R (t), складывая эти два уравнения; в результате получим
R2 (t) = -? +(0)#-i (г). (11.9.21)
Уравнения (11.9.19) и (11.9.20) можно вывести также с помощью (11.9.21) и его временной производной, а потому мы можем забыть о них и для вычисления R (t) прямо использовать (11.9.21).
Предположим теперь, что жидкость покоится (в стандартных координатах) при t = 0, так что
Л (O)=O (11.9.22)
и, следовательно, (11.9.21) и (11.9.17) приводят к соотношению
Zc = ^p(O). (11.9.23)
Тогда уравнение (11.9.21) можно записать в виде
R2 (t) =Jc [R-iV)- 1]. (11.9.24)
Решением будет параметрическое уравнение циклоиды
H1^)' ^=4-(1+^)- (11-9-25)
Отметим, что R (t) = 0, когда ф = я, а следовательно, когда t = Т,
= dwf2- (и-9-26>
Таким образом, жидкая сфера с начальной плотностью р (0) и нулевым давлением переходит из состояния покоя в состояние коллапса с бесконечной плотностью собственной энергии за конечное время Т.
