Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
А' -рг г _г г sin2 8
(11.7.3)
(Штрих и точка теперь означают д/дг и dldt соответственно.) І'Із уравнения (6.1.5) вытекает, что независимые компоненты тензора Риччи, отличные от нуля, имеют вид:
R А'В' A' A _AB__JL Ці 7 ЛЛ
Пгг" 2В 4В- 4АВ~1Р~*~2В Ш 4AB'
дЄЄ=-І-ь4-Й;+Ш' (11-7-5)
О__В^_,В'А'_ В' , , Ж 7 6)
24^4,42 Ar^ IiAB^r IA 4 A* AAB' У11-1'"'
Rtr=-Tr- (11-7-7)
Яз сферической симметрии также следует, что метрика принимает значения
Rw = Sin2QRee, (11.7.8)
Rre = Rrtf = Rd9=Rei = Rvt=O. (11.7.9)
В качестве простого, но важного применения этих формул рассмотрим сферически-симметричное, но не обязательно статическое поле в пустом пространстве, когда уравнения поля имеют вид Riiv = 0. Согласно (11.7.7), уравнение поля Rtr = 0 утверждает лишь то, что А не зависит от времени:
A=O.
Исследование выражений (11.7.4) —(11.7.6) показывает, что все временные производные в уравнениях поля сокращаются и последние оказываются совпадающими с уравнениями для статического § 7. Сферически-симметричные поля, зависящие от времени 363
изотропного гравитационного поля в пустом пространстве [уравнения (8.1.13)]. Тогда можно повторить вывод § 2 гл. 8, а именно: обращение в нуль Rrr и Rtt приводит к соотношению
(AB)' = О, а равенство нулю Ree дает
(ІН-
Так как А от времени не зависит, общее решение принимает вид А = ( I-^)-1, 5 = /(г)(1-^),
где GM — не зависящая от времени константа интегрирования, a f (t) — неизвестная функция t. Функция / (t) может быть приравнена к единице, если ввести новую временную координату
t
t' = j /1/2 (t) dt.
Теперь метрика совсем не зависит от времени и согласуется с решением Шварцшильда (8.2.12). Таким образом, мы доказали теорему Биркгоффа [43, 44] о том, что сферически-симметричное гравитационное поле в пустом пространстве должно быть статическим с метрикой, соответствующей решению Шварцшильда. Теорема Биркгоффа — аналог результата, полученного Ньютоном в его теории движения Луны и состоящего в том, что гравитационное поле вне сферически-симметричного тела ведет себя так, как если бы вся масса тела была сконцентрирована в его центре. Несколько удивительно, что этот вывод остается справедливым в общей теории относительности, как и в теории Ньютона, поскольку в общей теории относительности нестатическое тело должно было бы излучать гравитационные волны. Теорема же Биркгоффа утверждает, что хотя пульсирующее симметричное тело и может создавать нестатические гравитационные поля внутри объема, занимаемого его массой, но в окружающее пустое пространство гравитационное излучение выйти не может. В этом смысле теорема Биркгоффа аналогична хорошо известному выводу атомной теории о том, что фотон не может быть излучен в результате квантового перехода между двумя состояниями, имеющими нулевые спины.
Теорему Биркгоффа можно использовать не только при рассмотрении гравитационного поля вне тела, но также при рассмотрении поля внутри пустой сферической полости в центре сферически-симметричного (но не обязательно статического) тела. В этом случае метрика также задается решением Шварцшильда, но так как точка г = 0 теперь находится в пустом пространстве, 364
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
в ней не может возникнуть никакой сингулярности, а потому постоянная интегрирования MG должна равняться нулю. Таким образом, теорема Биркгоффа имеет следствие, состоящее в том, что метрика в пустой сферической полости в центре сферически-симметричной системы должна быть эквивалентна метрике плоского пространства Минковского Tjtiv. Это следствие — аналог другого знаменитого вывода теории Ньютона о том, что гравитационное поле сферической оболочки равно нулю внутри нее. Однако звезды обычно не имеют полостей в центре, и это следствие не принесет нам большой пользы в данной главе. Его важность определяется тем обстоятельством, что теорема Биркгоффа — локальная теорема, не зависящая от условий, налагаемых на метрику при г-> оо (кроме сферической симметрии), так что пространство должно быть плоским в сферической полости в центре сферически-симметричной системы даже в том случае, если система бесконечна, и в действительности даже тогда, когда рассматриваемая система — это вся Вселенная. В § 1 гл. 15 мы увидим, что это следствие теоремы Биркгоффа оправдывает предельные рассмотрения космологических проблем с помощью ньютоновской механики.
§ 8. Сопутствующие координаты
В качестве следующего шага на пути подготовки к рассмотрению гравитационного коллапса и космологических проблем в гл. 14 введем очень полезные координаты — сопутствующую систему координат [45]. Она обладает свойством более естественного разделения пространства и времени, чем разделение в стандартных координатах, использованных в предыдущем параграфе.
Рассмотрим конечную область пространства, заполненную-плотным облаком свободно падающих частиц. Предположим, что каждой частице придаются малые часы и фиксированный набор осей пространственных координат, которые могут быть определены как координаты хг частицы в некоторой произвольной системе, когда ее собственные часы показывают время t = 0. (Правила установки различных часов обсуждаются ниже.) Пространственно-временные координаты X, t любого события определяются рассмотрением х как пространственного аргумента частицы, задаваемого в том месте и в тот момент, где и когда происходит событие, а время t рассматривается как совпадающее с тем, что показывают часы частицы. Можно себе это представить в виде координатной сетки, движущейся вместе с облаком частиц, причем время определяется по часам, закрепленным в узлах этой сетки. Такую систему координат целесообразно вводить во всей области, занимаемой облаком частиц для любых интервалов времени, за которые траектории частиц не пересекаются. § 8. Сопутствующие координаты.
