Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя коллапс завершается за конечное координатное время t = T, любой световой сигнал, идущий к нам с поверхности сферы, будет проходить ее гравитационное поле с задержкой (§ 7 гл. 8), так что мы на Земле не будем наблюдать внезапного исчезновения звезды. Чтобы прояснить картину, завершим наши вычисления метрики вне звезды.
Теорема Биркгоффа, доказанная в § 7 этой главы, показывает, что всегда можно найти «стандартную» систему координат г, O, ф, t, в которой метрика вые сферы принимает вид
dx2== (l-^) (I-^p)-1 dr2-?2Sz-?sin*8d?.
(11.9.27) 24* 372
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
Но эта метрика не имеет гауссовой нормальной формы (11.9.1) а потому, чтобы сшить решения на поверхности, мы должны либо преобразовать внутреннее решение (11.9.16) к стандартным координатам, либо внешнее решение (11.9.27) привести к гауссовым нормальным координатам. Выберем первый способ [46].
Рассмотрение метрики (11.9.16) сразу показывает, что стандартные пространственные координаты г, 6, ср должны быть выбраны в виде
7 = rR(t), 8 = 0, ф=ф. (11.9.28)
Для того чтобы найти стандартную временную координату, такую, при которой dx2 не содержит перекрестного члена dr dt, воспользуемся способом «интегрирующего множителя», приведенным в § 7 этой главы. В результате получаем
s(г,г)
где
0 = 1-(4?)1^1"^))- (И.9.30)
Постоянная а произвольна, и ее удобно приравнять радиусу рассматриваемой сферы в сопутствующих координатах. То, что метрика в системе координат г, 0, ср, t принимает стандартный вид, проверяется непосредственно:
dx2 = В (г, t) d? - А (г, t) dr2 - г2 (dQ2 + sin2 0 йф2),
где
В = (1 -krVR) ' (И.У.31)
М1-^)"1- (11.9.32)
Теперь ясно, что S является функцией t, онределяемого выраже-нием (11.9.29), и что г и R (t) — функции г и S или г и t, определяемых решениями уравнений (11.9.28) и (11.9.30). Это выглядит несколько запутанным, однако при г, равном а, радиусу звезды (а постоянна, поскольку г —сопутствующая координата), имеем
r = a(t) = aR(t), (11.9.33)
B(t) § 9. Гравитационный коллапс
373
0=(1-^), (11.9.35)
^4K 0 = (1 -1?)"1- (11-9-36)
[Выражение (11.9.34) можно было бы получить путем интегрирования уравнений свободного падения, данных в § 4 гл. 8.] Сравнивая это с (11.9.27), видим, что внутреннее и внешнее решения сшиваются гладко при г = aR(t), если
(11.9.37)
Вместе с (11.9.23) это говорит о том, что
М = Щ- р(0) а3, (11.9.38)
что для нас уже не удивительно.
Вернемся теперь к задаче о том, как ведут себя световые сигналы, испускаемые с поверхности коллапсирующей сферы. Световой сигнал, испускаемый в радиальном направлении в момент стандартного времени t, будет иметь производную dr/dt, соответствующую выражению (11.9.27) и условию dx = 0, а потому он будет прибывать в отдаленную точку г в момент времени
? = « + j (1 -2J^y1dr. (11.9.39)
aR(t)
Наиболее неожиданное следствие выражений (11.9.39) и (11.9.34) — это стремление как t, так и Ґ к бесконечности, когда радиус рассматриваемой сферы (11.9.33) приближается к радиусу Шварцшильда 2GM, т. е. когда
R{t)^Z^=ka\ (11.9.40)
Таким образом, оказывается, что коллапс до шварцшилъдовского радиуса, с точки зрения внешнего наблюдателя, длится бесконечно долго, а коллапс до R = 0 извне ненаблюдаем.
Хотя коллапсирующая сфера визуально внезапно не исчезает, свет от нее постепенно слабеет из-за все более возрастающего красного смещения. Собственное время источника света на поверхности сферы — это как раз сопутствующее время t, а потому сопутствующий интервал времени между моментами испускания импульсов на поверхности равняется естественной длине волны которая излучалась бы источником в отсутствие гравитации. Стандартный временной интервал dt' между моментами прибытия
k =
2 MG аз 374
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
импульсов в точку г' равен наблюдаемой длине волны X'; следовательно, относительное изменение длины волны вычисляется следующим образом:
X1-X0 dt' , dt A , , I л 2MG \ ~l \ —
ви\Іл ^M-1TZ1-teMvj/ rW Vh I 1 Л
= I1-F(T)) LHH (ї=лй) +aJ-1'
Используя (11.9.24) для определения R (t), получаем
Для того чтобы увидеть, как изменяется красное смещение г со временем t', предположим, что радиус сферы вначале намного превышает радиус Шварцшильда:
= 1, (11.9.42)
и будем различать два периода в развитии коллапса: А. Пока t подходит близко к Т, имеем
II <1. (11.9.43)
Подставляя (11.9.42) и (11.9.43) в (11.9.34), (11.9.39) и (11.9.41), получаем (для г' а)
twt,
?«7+г' —вй(<) « t+?-aR{t) ^t + ?, (11.9.44)
rMl)'"-
Б. В итоге имеем
ка2
ж^1
в момент времени найденный с помощью (11.9.25) в виде
fl«-J-[„--*-(Aa2)''8]. (11.9.45) Тогда (11.9.34), (11.9.39) и (11.9.41) принимают вид tw — ka3 In ^l — J -f const,
? Wt- ка3 In [l -+ const да - Ika3 In [ 1 + const,
*~2НІЙҐ~ехр(і)- (11-9-46) § 9. Гравитационный коллапс
375
Рассматривая этапы А и Б вместе, приходим к выводу, что красное смещение с точки зрения наблюдателя, находящегося в точке г', отсутствует, когда коллапс только начинается, затем постепенно растет, но остается по величине порядка а 1 до тех пор, пока время не становится почти равным T = я/2 ]/&, а после этого растет экспоненциально с показателем 1/2fox3. Например, красное смещение для коллапсирующей сферы с массой M = IO8 Mq и радиусом а = 100 световых лет будет порядка IO-3 в течение периода порядка IO5 лет, после чего красное смещение внезапно начнет расти экспоненциально, увеличиваясь в е раз за время порядка 1 мин. С практической точки зрения, коллап-сирующая сфера внезапно становится полностью отрезанной от остальной Вселенной.
