Структурная электронография - Вайнштей Б.К.
Скачать (прямая ссылка):
рассеянными из точек г = 0 и г в направлении k.
14
вектор к, фиксируется значение интенсивности J (к), соответствующей
квадрату значений амплитуд /($), "вырезаемых" из обратного пространства
сферой отражения. На рис. 3, а и б показано, как математическая схема
обратного пространства и сферы отражения реализуется в соответствующей
диффракционной картине. При изменении направления вектора к0 (что
означает изменение направления падающего луча или поворот объекта), т. е.
при движении его начала по сфере А (рис. 3, а), можно пересечь сферой 1
любую точку, заключенную внутри сферы 2, так называемой сферы
ограничения. Угол рассеяния 2$ между векторами к и к0 определяется
соотношением:
поскольку
1*1 = 1*о1 = Т>
где X - длина волны.
Поворачивая объект относительно первичного пучка, что соответствует
пересечению сферой отражения различных областей обратного пространства,
можно получить из опыта набор значений /(s).
Обратимоеть преобразования Фурье. Зная <р(г), можно по формуле
f(s) - j(f(r)e^dvr (1)
вычислить f(s) для любого s, т. е., зная строение объекта, можно
рассчитать диффракционную картину. Амплитуда рассеяния f(s) является
"образом" объекта 9 (г) в обратном пространстве. Интеграл Фурье (1)
обладает свойством обратимости;
V С'') = -8^3 J/((r)) e~i[sr>dv", (2)
что позволяет, зная /(5), вычислить 9(г). Это означает, что по
диффракционной картине возможно воссоздать картину рассеивающего объекта,
а это и есть основная задача структурного анализа.
Однако здесь имеются следующие важные ограничения. Первое из них состоит
в том, что из опыта при анализе диффракционных картин могут в общем
случае быть получены лишь |/($)| - значения
а - сфера отражения (1) и ограничения (2) в обратном пространстве; б -
образование диффракционной картины, соответствующей схеме а.
15
модулей ахмплитуд, без указаний их фаз, поскольку наблюдаемые
интенсивности / ~ |/($) |2. Второе состоит в том, что набор этих значений
ограничен, поскольку максимальные наблюдаемые значения | 5 | составляют
\2k\ (рис. 3, а, сфера ограничения 2). Если функция /(s) спадает
достаточно быстро, т. е. если за пределами сферы ограничения /($)-> О, то
второе ограничение отпадает. Именно так обстоит дело в электронографии,
где радиус сферы ограничения очень велик (так как длина волны мала).
Наличие второго ограничения - "обрыва" f(s) при конечных значениях- не
позволяет воссоздать <р (г) по формуле (2) абсолютно точно, поскольку в
это выражение войдут не все необходимые значения f(s).
Операции (1) и (2) можно записывать, пользуясь оператором преобразования
Фурье F:
^ {?(')} =/(*); (10 ^1{/((r))}=?(г). (20
Диффракция на кристалле и обратная решетка. Кристалл представляет собой
периодическое в трех измерениях распределение рассеивающей материи. При
подстановке периодической функции в интеграл (1) набор значений f(s) уже
не будет непрерывным. Для одномерного случая и периода 2~ выражение (1)
будет иметь вид:
2тс
<b{x)eihx dx = Фк,
О
где h - целые числа.
Таким образом, функция <р (х) характеризуется дискретным набором
коэффициентов Фурье Ф^.1 Если эта функция имеет период а, то
а , 2тсh
фл = -^|?(Ое " dx. (3)
О
Обратим внимание на то, на каком расстоянии друг от друга располагаются в
обратном пространстве величины ФЛ. Для этого следует сравнить выражения
(1) и (3). Величине 5 в уравнении (1) соответствует в уравнении (3), т.
е. для периодической функции периода а
,, х 2тгh
величины f(s) отличны от нуля только при значениях s= ,
/(5)~Ф* = ф(2 (4)
и располагаются на расстоянии 2тz/a друг от друга.
Точно так же для трехмерного случая коэффициенты Фурье таковы:
а Ь с 2 i(^ + ^
Фш = ^ j I J ? (XVZ)е ' dxdydz = ~ J 9 (г) dvr. (5)
ООО
1 Буква Ф в этой главе использована для обозначения коэффициента Фурье
(т. е. так называемой структурной амплитуды) вообще; во всех дальнейших
главах она будет означать специфичный для электронографии коэффициент
Фурье разложения потенциала кристалла, в отличие от применяемого в
рентгенографии обозначения F для коэффициентов разложения Фурье его
электронной плотности.
И)
Здесь /г, к, Z - целые числа1. Компонентами вектора 5 в обратном
пространстве являются 2т-h/a, 2izk/b, 2izljc. Следовательно, если в
случае рассеяния от непериодического объекта (атома, молекулы и т. п.)
распределение амплитуды f(s) в обратном пространстве было непрерывным, т.
е. рассеяние с той или иной интенсивностью было возможно в любом
направлении, то при рассеянии от кристаллов возможны лишь некоторые
определенные направления диффрагированных пучков. Амплитуда рассеяния
существует лишь при указанных выше значениях компонент вектора S, причем
h, к и I - индексы амплитуды Фт - целые числа. Распределение точек, в
которых амплитуда рассеяния отлична от нуля и принимает значения Фш,
периодично в обратном пространстве, оно образует так называемую обратную
решетку (рис. 4). Каждая такая точка - узел hkl характеризуется вектором
обратной решетки:
