Структурная электронография - Вайнштей Б.К.
Скачать (прямая ссылка):
21
(функция вероятности) w{r), то можно рассчитать распределение
рассеивающей способности атома <рг(г), т. е. рассеивающей способности,
"размытой" тепловым движением. Атом, центр которого сдвинут относительно
положения равновесия в точку г', имеет распределение (р = ср(г - г').
Вероятность нахождения атома в этом положении есть w(r'). Следовательно,
для подсчета <р т(г) следует просуммировать (проинтегрировать)
произведение <р (г - rf)-w(rf) по всем значениям г':
= ^9 (г - г') • w(r')dvrr. (18а)
Выражения такого вида, так называемые "свертки", известны в теории рядов
Фурье [16]. При их помощи просто решаются многие вопросы теории
рассеяния.
Сверткой двух (периодических или непериодических) функций ^ (х) и (х)
называется интеграл типа
/>(*) = ]* <М(r) - ОФ8(0^="1'Ь((r))- (19)
Свертка соединяет в себе свойства обеих функций. Смысл ее
заклю-
чается в том, что функция распределяется по закону, задаваемому функцией
ф2, или наоборот, что приводит к одинаковому результату (рис. 8). Теорема
свертки гласит, что если
(*)}=/! И и
то
F {fA (*) | = к (s) Л(5). (20)
т. е. что интеграл Фурье от свертки есть произведение интегралов
Фурье каждой из функций.
С теоремой свертки связана и теорема умножения [она следует из
обратимости интеграла Фурье (1), (2)]:
А(*)}=ША <21)
т. е. интеграл Фурье произведения двух функций есть свертка интегралов
Фурье каждой из функций.
Написанные для одномерного случая, эти формулы справедливы и для
трехмерного случая. Таким образом, выражение (18а) есть свертка функций 9
(г) и w(r):
<PT(r) = fw(r). (186)
Следовательно, по (20), интеграл Фурье от (186) есть произведение
интегралов Фурье от каждой из функций:
F{b,(r)}=F{?(r)}F{w(r)}. (22)
Интеграл Фурье от распределения 9 (г) атома есть атомная амплитуда /(5)
(14). Интеграл Фурье F [w (г)} от функции теплового движе-
22
ния w(r) называется температурным фактором. Для целей структурного
анализа с достаточной точностью принимают, что законом распределения
центров тяжести атомов при колебаниях их в решетке является закон Гаусса
(колебания сферически симметричны), т. е. что
причем, согласно условию нормировки для функции вероятности,
Это выражение описывает основную, хаотическую часть теплового движения
атомов в кристаллах. Другая часть возникает из-за наличия связи между
атомами и представляет собой колебания всей решетки в целом. Эти
колебания могут быть описаны как наложение трехмерной системы волн со
средним распределением во времени W (г). Рассеяние на них - это так
называемое тепловое диффузное рассеяние [8, 12]. F [W (г)} определит
амплитуду этой части теплового
рассеяния.
V Внешняя форма кристалла. При рассмотрении задачи о рассеянии на
кристалле, обладающем трехмерно-периодическим распределением рассеивающей
материи, непрерывная в общем случае амплитуда / (s) распадается на
дискретный набор точек обратной решетки с весом Фн. Величина (12)
представляет собой амплитуду рассеяния одной ячейкой кристалла, решетка
которого простирается бесконечно. В действительности же кристалл имеет
определенные размеры, в пределах которых заключено конечное число
элементарных ячеек.
Ограниченность кристалла, наличие у него определенной формы, можно учесть
следующим образом [17]. Зададим функцию S(r)f которая равна нулю вне
кристалла и единице внутри него. Умножая бесконечное периодическое
распределение <р (г), свойственное решетке
w (г) =
1
г2
2м2
(23)
(2тш2)2
j w(r) dvr = 1.
Величина \! и2 - среднее квадратичное смещение атома из положения
равновесия. Тогда
и атомной амплитудой колеолющегося атома fT(s) будет произведение атомной
амплитуды и температурного фак-
Рис. 8. Графическое изображение свертки функций фх и ф2.
где
М=^ u2s2.
(25)
23
данного кристалла, на S (г), получим распределение для ограниченного
кристалла формы S (г) (рис. 9).
S (г) описывает сплошное тело, равное по форме кристаллу. Задача
рассеяния от такого тела есть аналог двумерных оптических задач
диффракции света на отверстии определенной формы, внутри которого
"плотность рассеивающей материи" равна единице, а вне его - нулю.
Рис. 9. Учет внешней формы кристалла (одномерная схема).
Амплитуда рассеяния от такого тела
F {S (г)} = J S (г) fMs'4vr = D(s) (26)
S(r)
является непериодической функцией и называется "трансформацией формы" или
(иногда) "кристаллформфактором". Количественные оценки (которые сделаны
ниже, в главе II) показывают, что D (s) практически отличается от "точки"
только для самых маленьких кристалликов; кристаллы линейных размеров
более 10-4 см являются уже "бесконечными". Таким образом, ограниченный
кристалл описывается как S(r)y(r), и по теореме умножения (21) амплитуда
рассеяния для него
Фкрист = F [S {г) 9 (г)} = уТф (Н) (27)
является сверткой амплитуды бесконечного кристалла и трансформации формы.
Здесь под Ф (Н) подразумевается вся совокупность точек обратной решетки с
весом каждой из них Ф/г Основное свойство свертки (19) заключается в
