Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Одной из таких попыток является квантовая электродинамика. В основу этой теории положена идея, что каждая частица взаимодействует только с окружающим ее электромагнитным полем, являющимся передатчиком взаимодействия от одной частицы к другой. При этом поле, конечно, квантовано, а это в свою очередь приводит к квантованию числа частиц. Тогда волновая функция системы будет зависеть не только от координат и времен всех частиц, но и от переменных, относящихся ко всему (практически бесконечному) числу квантов поля. Оператором, действующим на переменные, относящиеся к квантам, будут скалярный и векторный потенциалы. Поэтому оператором будет и напряжение электромагнитного поля.
В квантовой электродинамике световые кванты делятся на два типа — поперечные кванты, являющиеся обычными световыми квантами, и продольные световые кванты, передающие электростатическое взаимодействие.
На основании этих общих соображений Брейт дал приближенное релятивистское уравнение для двухэлектронной системы. Это уравнение имеет вид
Волновая функция ф обладает уже не одним, а двумя индексами и соответственно этому имеет не 4, а 16 составляющих. Матричные операторы 01, Г4 действуют на первый, а операторы 02, Г4 на вто_ рой значок функции ф^. В уравнении Брейта члены в первых двух строках соответствуют в уравнении Дирака для каждого электрона в р2
отдельности. Член дает электростатическое взаимодействие электронов, тогда как член в скобках — релятивистская поправка. Брейт
jЕ + e(p(ri) + е(р(г2) + (Г4 + Г2)?^о +
(01 - ihcgradi +e2l(ri)) + (02 - i/zcgrad2 +eSl(r2)) +
Дополнения
223
показал, что наилучшие результаты получаются, если сначала решать уравнение (5.1) без релятивистской поправки, а потом вводить ее как «возмущение».
Как указывалось выше (§23), в случае положительных значений энергии одна пара собственных функций уравнения Дирака значительно меньше другой и поэтому ею можно пренебречь. В случае уравнения Брейта мы можем совершенно аналогично разделить компоненты собственной функции. Для положительных значений энергии 4 компоненты из 16 превосходят другие по величине. Поэтому из (5.1) можно исключить малые компоненты, тогда мы получаем уравнение двухэлектронной задачи в виде
{~eV + 2+ Р^ ~ ~ S? fe(plp2)) +
3
+ -§- ^ (хц — Xi2)(Xkl — Xk2)PilPk2) + тс[([®ipl] + ~^4r12p2]^l) +
Еф =
3
i,k=1
+([в,р2] + зЧЗД,],Л] - src^Pi) + (®»Р»>> +
+^ад,-№и)(>.ч,) + ((JjM+(&ад) +
г12
Шс ((^iPi) + (^2р2)) + 2тс2 ^
(5.2)
где
V = W + W ~ Г12 “ vir-i) - <р(г2). (5.3)
Первые два члена дают обычное нерелятивистское выражение для энергии. Третий член описывает изменение массы электронов со скоростью. Четвертый член — поправка на запаздывающее взаимодействие электронов. Пятый и шестой члены дают взаимодействие между спином и орбитальным моментом электронов. Седьмой член описывает спин. Восьмой — взаимодействие спинов. Последние же три члена дают взаимодействие с внешним магнитным полем.
Применим уравнение Брейта к вычислению тонкой структуры спектра атома гелия.
Для этого мы воспользуемся уравнением (5.2) при условии отсут-
224 Дополнения
ствия внешнего поля (р = $) = 0. В релятивистской функции возмущения расщепление дают только члены
4[([®lPl] + ^-[tl2p2]^l) + + ([®2р2] +
Tl2 Tl2 (Ч A)
, Л ..2 (^1^2) - 3(CTiti2)(<72ti2)
^ „5 ’
Г
12
остальные же члены дают только небольшое смещение термов, которое мы рассматривать не будем.
Возмущение (5.4) расщепляет термы ортогелия (см. § 26) на три уровня с j = I + 1, /, I — 1. В качестве собственных функций возьмем произведение собственных функций обоих электронов
ф = щ(1)иП1т(2). (5.5)
Для взаимодействия между спином и орбитальным моментом, записывая пятый и шестой члены уравнения (5.2) в атомных единицах Хартри, мы получаем
\а2 (4[riPi]-4-[ri-r2,P1] + ^-[ti-t2,p2]^i) + \Г1 Г12 Г12 /
h2 (4[t2p2]-4-fe-ti,p2] + ^-[t2-r1,p1]o!2) . \Г2 Г12 Г12 /
2
(5.6)
Подставляя волновую функцию (5.5) вследствие того, что среднее значение величины [tip-J равно нулю, a [tip2] и [t^p-J взаимно уничтожаются, мы получим
ia2(Z-3)r23{ -/ при j = l
I при j = I + 1 I при j = I I + 1 при j — I — 1,
где
/ ЛUUr)rzdr =
п3(2/ + !)(/ + !)/
Таким образом, взаимодействие спин — орбита расщепляет линии ортогелия на триплет. Будет ли триплет нормальным или обратным, зависит от величины (Z — 3). Для гелия Z — 3 = — 1 и поэтому триплет будет обратным, т. е. наинизшим уровнем будет уровень с j = I + 1.
