Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
На первый взгляд кажется, что такое же затруднение имеет место и в классической механике. В действительности это не так. В самом деле, формула (4.1) допускает положительные значения энергии от тс2 до бесконечности и отрицательные от —тс2 до минус бесконечности. Между тс2 и —тс2 находится запрещенный интервал энергии величины 2тс2. В классической теории все величины меняются непрерывно и поэтому переход через запрещенную зону невозможен.
В квантовой механике такие скачкообразное переходы возможны и поэтому принципиально нет никаких оснований ограничиваться только положительными значениями энергии. Более того, можно легко показать, что если ограничиться только положительными значениями энергии, то функция Дирака не удовлетворяет условиям § 2, т. е. не образует замкнутой системы функций. Для достижения замкнутости необходимо наряду с положительными значениями энергии внести также и отрицательные.
Частица, обладающая отрицательной энергией, ведет себя весьма странно. Так, например, в силовом поле она движется в направлении, противоположном направлению действия силы, при уменьшении энергии ее скорость увеличивается и т. д.
Для того чтобы выйти из этого затруднения, Дирак предположил, что все состояния с отрицательной энергией, как обладающие минимумом свободной энергии, заняты электронами. При этом, в противоположность не полностью занятым состояниям с положительной энергией, эти состояния не наблюдаемы. Если под влиянием каких-либо внешних воздействий электрон переходит из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией, то в заполненном пространстве уровней с отрицательной энергией образуется «дырка». Эта дырка уже наблюдаема и ведет себя так, как вел бы себя электрон с положительным зарядом. Такая дырка получила название позитрона. Существование позитронов было экспериментально доказано Андерсоном в 1932 г.
Благодаря тому, что отсутствию электрона с отрицательной энергией соответствует положительная энергия, позитрон ведет себя как реальная частица, но, в отличие от обычных частиц, он обладает весьма коротким периодом существования. Действительно, электрон с положительной энергией может упасть в дырку с испусканием излучения, но при этом и электрон и позитрон перестают быть наблюдаемы — «аннигилируются».
Дополнения
221
Таким образом, существование отрицательных уровней энергии дало возможность объяснить целый ряд явлений, как то: существование и аннигиляцию позитронов, образование электронных пар и т. д.
Но, с другой стороны, представление о заполненных электронами отрицательных уровнях приводит к новым затруднениям. Если считать, что их движение совершенно свободно, то число возможных значений скорости электрона трижды бесконечно. Соответственно трижды бесконечно и число электронов в единице объема, но это в свою очередь должно приводить к существованию бесконечно большого поля.
Существование уровней с отрицательной энергией дает возможность разрешить одну фундаментальную трудность теории Дирака, а именно: оператор скорости электрона в теории Дирака имеет вид
® = с0, (4.2)
где 0 — вектор с компонентами Ti, Г2, Г3. Компоненты этого оператора, описывающие составляющие скорости электрона, обладают характеристическими значениями ±с в то время, как в действительности для электрона возможны любые значения скорости в интервале от +с до —с. Кроме того, в теории Дирака не существует обычного соответствия между операторами энергии и импульса, и эти величины выражены совершенно различными операторами.
Как показал Шредингер1, эти особенности оператора скорости связаны существованием состояний с отрицательной энергией и обусловливаются биением волн с положительной и отрицательной энергией. Скорость электрона может быть разложена на две части: на «макроскорость», связанную обычным образом с оператором импульса, и на колебательную часть — «микроскорость», возникающую вследствие би-
27/;
ений и поэтому обладающую частотой —, равной разности частот волн
с положительной и отрицательной энергией. Благодаря этому «мерцательному движению» электрона в теории Дирака уже не имеет места теорема Эренфеста о том, что центр тяжести вероятности движется по классическим законам, так как движение центра тяжести является наложением двух движений: макродвижения, удовлетворяющего теореме Эренфеста, и мерцательного движения.
Дальнейшие подробности по вопросу об отрицательной энергии читатель найдет в учебниках по квантовой механике, в особенности в книге проф. Я. И. Френкеля «Волновая механика», т. II, §31,32,35. Теория образования электронных пар изложена в книге: Мотт и Месси, «Теория атомных столкновений», гл. XV.
1Schroedinger, Annals de l’lnstitut Henri Poincare 2, 269 (1931). Berl. Ber. (1931).
222
Дополнения
5. Уравнение Брейта (к § 23)
Задача многих тел в теории Дирака до сих пор принципиально не решена. Основным затруднением здесь является то, что для каждой частицы приходится вводить свое собственное время, не зависящее от времен всех остальных частиц. Очевидно, что решение этого вопроса нам даст только еще несозданная релятивистская квантовая механика. Тем не менее уже и сейчас имеются более или менее плодотворные попытки приближенного решения задачи многих тел.
