Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
0 Ex Ey Ez
---Ex 0 i Hy
h*
1st
---Ey Hx 0 -Hx
~EZ -Ну Hx 0
pik _
Fik — соответствующий ковариантный тензор
Fik —
(3.15)
0 ~EX Ey -Ez
Ex 0 -Hz Hy
Ey Hz 0 -Hx
Ez -Hy Hx 0
(3.16)
a S — четырехкомпонентная величина
с _ с (Рух РЪ Pvz
I с ’ с ’ с ’ ^
удовлетворяющая уравнению непрерывности
дрх _ дхх
0.
Решения системы уравнений (3.14) имеют вид
Г. &Р± _ д(Рк
гк дхк дхг ’
(3.17)
(3.18)
(3.19)
где (pi — четырехмерныи потенциал системы.
Но так как четырехкомпонентной величине sx соответствует спинор второго ранга smi, а дифференциальные операторы в спинорной форме определяются выражениями (3.12), (3.13), то уравнение (3.14) можно записать в спинорной форме
d\&f? - dfurfZ = 0,
(3.20)
218
Дополнения
где / определяется уравнением
/ам = \ [д\*ч>д + д^<р%].
(3.21)
Таким образом мы записали уравнение Максвелла в спинорной форме. Это преобразование было дано Уленбеком и Лапортом и показало, что спиноры не являются величинами, связанными исключительно с квантово-механическими задачами, но применимы и к задачам классической физики.
В § 23 уже указывалось, что уравнение Дирака (23.7) легко можно записать в спинорной форме (23.8), в которой особенно наглядно выступает инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования Лоренца.
Отметим еще, что, исходя из спинорной формы уравнения Дирака, можно доказать его инвариантность относительно отражения.
Очень важной областью применения спиноров является теория валентности.
Рассмотрим атомы А, В и т. д. Если обозначить число валентных электронов каждого атома (т. е. электронов с параллельными спинами) через па, щ и т. д., то рассматриваемые атомы обладают спиновыми моментами
Взаимодействие между атомами сводится к исследованию взаимодействия между «чисто валентными состояниями». Если Ai, А2 спиновые компоненты электрона в атоме А, а В\, В2 компоненты спина электрона в атоме В, то два взаимно насыщенные спина (электронная пара) описываются спиновой функцией
инвариантной относительно бинарного преобразования в спиновом пространстве. Графически эта функция изображается «валентной черточкой», проведенной от А к В.
Функция, описывающая взаимодействие всей системы атомов в целом, будет полиномом из компонент спиноров, инвариантным при бинарных преобразованиях. Можно доказать, что этот полином является произведением функций (3.23) вида
(3.22)
[АВ] — А\ В2 — А2 В\,
(3.23)
ip = [АВ]РаЬ [АС\Рас [ВС]Рь<
(3.24)
Дополнения
219
где РаЬ, Рас — числа валентных штрихов, проведенных между соответствующими атомами. Числа Раь, Рас подчиняются соотношениям
РаЬ + Рас + Pad + • • • = па Л
Pba + Pbc + Pbd + • • • — Щ > . (3.25)
Полученные таким образом функции не будут линейно-независимыми, так как они связаны соотношениями вида
[АВ] [CD] + [AC] [DB] + [AD] [ВС] = 0. (3.26)
Поэтому для исследования взаимодействия между атомами необходимо находить линейно-независимые спининварианты.
Их можно найти простым геометрическим методом. Расположим по кругу точки А, В, С ... и проведем все валентные штрихи, соответствующие формуле (3.24). Линейно-независимые инварианты будут соответствовать непересекающимся линиям. Пересекающиеся линии могут быть разложены на непересекающиеся с помощью формулы (3.26). Действительно, изображая эту формулу графически, получим
А В А В А —В
X = I I +
CD CD С —D
Дальнейшие сведения по спинорному анализу и его применениям читатель найдет в монографии Ю.Б.Румера «Спинорный анализ», ОНТИ, 1936.
4. Уровни с отрицательной энергией (к § 23)
В конце § 23 указывается, как на один из недостатков теории Дирака, на то, что она допускает состояние с отрицательной энергией. За 5 лет, прошедших с момента написания этой книги, положение вещей изменилось, и в настоящее время существование отрицательных уровней энергии считается одним из важнейших достижений теории Дирака.
Релятивистское выражение для энергии в отсутствии внешнего поля, из которого получается и релятивистское выражение Шредингера, и уравнение Дирака имеет вид
W = cJm2c2 +р2 +р2 +р2,
(4.1)
220
Дополнения
но перед корнем возможен не только обычно употребляемый положительный, но и отрицательный знак. А это и приводит к тому, что наряду с положительными значениями энергии возникают и отрицательные. Из 4 компонент функции Дирака две описывают состояние с положительной, а две с отрицательной энергией.
