Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
S=$. (2.61)
и не зависит от того, к какой группе принадлежит рассматриваемое число. Числа с s = 1 всегда имеют обратные. Числа s < 1 являются нулевыми делителями. При таком определении мы тоже получаем (2n + 1) классов, а именно нулевое число (s = 0), числа с обратными (s = 1) и
1 2 2n_1
нулевые делители (s =
1См.: Лаппо-Данилевский. Теория функций от матриц и системы линейных диф-
ференциальных уравнений, §4, ОНТИ, Ленинград, 1934.
214
Дополнения
Со является полем комплексных чисел и содержит только два класса (s = 0, s = 1); С2 является полем кватернионов и содержит три класса (s = 0, у2, 1). С4 поле чисел Дирака с числом классов
Пользуясь методами § 9, можно показать, что числа С2п неприводимы, тогда как числа C2n+i приводимы и распадаются на две взаимноортогональные части вида С2п.
Обобщение метода Заутера удобно для случая многих частиц. Например, в уравнении Брейта для двух электронов (см. дополнение 4) мы имеем 8 матричных операторов, из которых 4 действуют на координаты первого, а 4 на координаты второго электрона. Так как эти операторы удовлетворяют соотношению (2.1), то поле чисел уравнения Брейта будет С$ и изоморфно с кольцом 16-рядных матриц. Числа группы С$ распадаются на 17 классов. В общем случае С$ содержит 64 независимых параметра. Умножая на нулевой делитель со степенью приведения У4, мы получим класс 16 параметровых чисел, среди которых находятся собственные функции уравнения Брейта.
3. Спинорный анализ (к § 20)
В § 20 кратко описаны свойства нового класса математических величин спиноров или «полувекторов». Исследования Ван-дер-Вардена1 Уленбека и Лапорта2 и других показали, что тензоры и векторы являются величинами производными, которые можно свести к спинорам. Согласно §20, мы называем спинорами векторы (ai, а2) в двухмерном комплексном пространстве, преобразующиеся по формулам
пять (s = 0, у4, у2, %, 1).
a'l — CKntti + ос\2^2 о!2 — OL2\d\ + Oi22a2
(3.1)
и
а1 — OL\\d\ + 0^12^2
а2 = ol2\&\ + ot22a2. Детерминант этого преобразования равен единице
(3.2)
а 11 c*i2
a2i а22
(3.3)
1В. L. Wan-der-Waerden, Got. Nachr. 100 (1929).
2Uhlenbeck and Lapport, Phys. Rev. 37, 1380 (1931).
Дополнения
215
Спинор можно рассматривать как тензор половинного ранга. Обратно, вектор является спинором второго ранга, преобразующимся как произведение двух спиноров. Преобразования (3.1) и (3.2) образуют группу с б действительными параметрами, из которых можно образовать три линейно-независимых комплексных параметра. Эта группа является ничем иным, как специально линейной группой С2, рассмотренной в § 16.
Из произведений и компонент спиноров можно получить компоненты спиноров высших рангов, эквивалентных векторам и тензорам. Площадь параллелограмма, образованного двумя спинорами а и Ъ, равна
Эта площадь инвариантна относительно преобразований (3.1), (3.2). Пользуясь инвариантной билинейной формой (3.4), мы можем ввести контравариантные спиноры акЪг. Между компонентами ко- и контрава-риантных спиноров имеют место соотношения
(греческие буквы играют роль индексов суммирования).
В спинорной алгебре мы имеем только две операции: умножение и свертывание. Абсолютное значение спиноров нечетного ранга равно нулю
ai&2 - «2^1-
(3.4)
а1 = а 2 Ь1 = 1)2
а2 = —di I)2 = —hi.
(3.5)
которые можно записать в виде
(3.6)
где
(3.7)
ахах = 0.
(3.8)
Кроме того,
ttret — &еН — ^eri
(3.9)
216
Дополнения
Спиноры второго ранга связаны простыми соотношениями с компонентами мирового вектора
Аналогично можно установить простые соотношения между мировым тензором и спинором четвертого ранга с двумя штрихованными индексами.
Спинор четного ранга можно разложить на четную и нечетную части
С помощью спиноров можно построить ряд дифференциальных операторов, инвариантных при бинарных преобразованиях. Так, например, компонентам четырехмерного градиента соответствуют операторы
Четырехмерному оператору Лапласа соответствует спинорный оператор
Рассмотрим некоторые физические применения спинорного анализа.
.
(3.10)
>
(3.12)
(3.13)
и т. д.
Дополнения
217
Как известно, уравнение Максвелла можно представить в тензорной форме
dFik
0Fik Л dFke л dFex
= 0,
(3.14)
дхг “ ’ дхе дхг дхк где Flk — антисимметричный, контравариантный тензор второго ранга
