Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
фг=М 1 + Г4); (2.40)
Ф2 =у>2(1-Г4). (2.41)
Это обстоятельство обусловливает вырождение решений уравнения Дирака.
Уравнение (2.36) можно записать в виде
±[1 - ([tV]0)r1r2r3]<^ij2 = (3 + |) <Pi,2. (2.42)
210 Дополнения
Из уравнения (2.31), после небольшого преобразования, получаем
{[tv]2 ± (i + ±) [± (j + ±) + l] } <plt2 = 0. (2.43)
Это уравнение уже не содержит операторов Дирака и может быть приведено к виду
1 д
sin $ д'д
sin$
d<pij
+
J_______О2 ?>i,2
sin21? dip
±
± ij + I) [± ij + I) + *1 Vl'2 ~ °’
(2.44)
т. e. к обычному уравнению для шаровых функций.
Но функции <?>1;2 должны одновременно быть и собственными функциями уравнения (2.37) и, следовательно, должны иметь форму (2.38).
Поэтому с\ и С2 в уравнении (2.38) мы запишем в виде
ci = р±{Ль)(cos^ С2 = р±{Ль)(cosё)с’2- (2-45)
Подставляя (2.42), получаем
{([rv]0)r1r2r3 + [± (з + I) + l] } X
х {р"7* (cosi^M"-*)^ +Р^-\Лсо^)е-т^м+^Л.
[ +^±2j ±U+2j J
(2.46)
Выполняя дифференцирование после ряда преобразований, находим
(j + \)
s) ~M + ii
gl! <4— Г1Г3 g2.
(2.47)
Дополнения
Таким образом, волновые функции (2.40) имеют вид
V’i =
211
PM~h (со8^еГ1Г2(М“|)?,+
+Г1Г2 PMl+\Jcos^)e-rir2(M+^,fi
-v+Ю
gl(l + Г4
Ф2 =
PM-4coS^)eTlT2iM~h)v + ^(i+i)lcos^e(j-™+1) +
+Г1Г3 P,M+A(cosi?)e“r'ir2(M+i)?’
#(1 + г4).
(2.48)
(2.49)
Для определения g\, g2 воспользуемся непосредственно уравнением (2.29).
Подставляя (2.48) и (2.49) в уравнение (2.29), получаем
he
ё}Л2 =
-(0V)V>12 +
+
(2.50)
he he y
Выполняя дифференцирование по угловым координатам, находим
/
—(gV),0i2 — /12
fr +
\
Гз gl,2j
(2.51)
/
где /1,2 обозначает зависящую от углов часть выражений (2.48), (2.49). Подстановка в (2.50) дает
-(0V)^2+(^r4-^]^ =
— /1,:
1=Ь
/
ГзЯ1’2 + - ш) fl’2g1'2' (2-52)
Из уравнения (2.52) получаем уравнение для g\?2
212
Дополнения
Положив
/ = ~g, g=T3g2,
(2.54)
получим уравнения
г
f+±(E-V-Eo)g=0,
/
(2.55)
l+{j+iy
dr
г
\
/
Эти уравнения тождественны с обычными уравнениями для радиальной части функции Дирака (см. §24).
Пользуясь (2.48) и (2.49), получаем решение уравнения Дирака в форме
где 7 произвольный постоянный множитель.
Из линейной комбинации (2.56) и (2.57) можно построить два вышеописанные взаимно-ортогональные конъюгированные решения, связанные со спиновым вырождением.
Появление «мнимой единицы» Г1Г2 в экспоненциальных выражениях связано с тем, что (р обозначает вращение 1 — 2. Г3 показывает, что за ось полярной системы координат берется ось 2.
Существование «мнимой единицы» матричного оператора в экспоненциале на первый взгляд очень странно, но, разлагая экспоненциальное выражение в ряд и группируя члены, мы легко получаем
еГ1Г2(М+|)?> = cos + 1^ + Fip2 sin j'м + 1^ ^
Дополнения
213
Это выражение можно получить и с помощью формулы Лагранжа Сильвестера1.
Теория Заутера может быть обобщена, если вместо базисных чисел (14.7) воспользоваться системой с п базисными элементами, удовлетворяющими соотношению (2.1). Тогда вместо (2.2) мы будем иметь числа более общего вида
Сп = /о + ^2 fikTiTk + . . . + /12...Г1Г1Г2 ... Гп, (2.59)
г i-фк
где /о, fi ... обычные комплексные числа. Число основных элементов (произведений Г*) равно 2П, так как оно равно сумме всех комбинаций
из п элементов по v, где v меняется от 0 до п
п
Е< = 2” (2-6°)
is=Q
Числа Сп образуют группу, так как они удовлетворяют условиям (8.1)-(8.4). От обычных комплексных чисел Сп отличаются неком-мутативностью умножения и существованием нулевых делителей с различной степенью приведения. Можно легко доказать, что Сп изоморфны с кольцом n-рядных матриц.
Из § 14 следует, что основным свойством матричного кольца является его ранг R. Поэтому числа Сп можно характеризовать с помощью изоморфных с ними матриц. Тогда все числа Сп разбиваются на (2п + 1) классов с рангами 0, 1, ... , 2п. Но такое представление не однозначно, так как одно и то же число в различных Сп имеет различный ранг. Поэтому различные числа из группы Сп значительно удобнее характеризовать с помощью степени приведения s. Можно легко показать, что
