Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
§§ 182-183. Возможность "редукции с помощью исключения" становится
очевидной после замены функции как Лагранжа, так и Гамильтона так
называемой функцией Рауса (см. Т. Levi-Civita - V. Amaldi, Lezioni di
Meccanica Razionale 2i [1927], 373-375). Эта функция, существующая также
и тогда, когда исключение каких-либо координат (или импульсов) не
является возможным, приводит к комбинации лагранжевых и канонических
уравнений и сводится к L или Н в двух предельных случаях. См. также
Е. R. van Kampen, A. Wintner, Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 181-
182.
§§ 185-187. Трудно решить, кто первый выписал интеграл энергии (li),
который позволяет свести задачу к квадратуре (он должен был быть
известным Эйлеру, но, возможно, относится к более ранней дате). Что
касается качественного анализа этой квадратуры, то см., например, G. D i
11-п е г, Bordeaux Mem. (2) 5 (1883), 291-304; P. Stack el, Diss.
(Berlin, 1885), 13-17. С целью подчеркнуть методическое различие между
проблемами в малом и в большом, рассуждения в §§ 186, 187 опираются
преднамеренно не на эту квадратуру, а на множестве нулевой скорости.
§ 188. Эта процедура униформизации и разложения приписывается обычно
Вейерштрассу (1866, Werke 2, 1-18), хотя она имеется не только в
посмертной заметке Абеля (Oevres, 2 nd ed. 2, 40-42), но также в учебнике
Миндинга Handbuch der Theoretischen Mechanik (1838). Наиболее ранним
вариантом этой процедуры является введение эксцентрической аномалии при
анализе эллиптического движения (см. комментарий к § 259).
502 ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
§ 189. Линейный член, следующий за постоянным членом - результатом
инверсии квадратного корня в приближенной формуле (11), был рассмотрен
Фату (P. Fatou, Acta Astr. (а) 2 (1931), 135-139); его вычисления
содержат, однако, числепные ошибки. Уточнение (11) более общего характера
было получено независимо Леви-Чивита (Revista Vniv. San Marcos (Lima)
1937, №. 421). Вариаптом (11) является результат Ньютона (Principia, Book
I. Prop. XLV) о вековой прецессии перигелия в случае неньютониан-ского
статистического гравитационного поля; см. также комментарий к § 219.
§§ 194-198. Вначале Лиувилль пришел (Journ. de Math. (1) 14 (1849), 257-
299) к выделению класса проблем, носящего его имя, используя метод
разделения переменных (Якоби) (см., например, § 248). Эквивалентный
подход, рассмотренный в § 194, ведет к цели более непосредственно и
является лишь частным случаем линейного (изоэнергетического) ^-
преобразования Дарбу - Пенлеве (см. комментарий к § 180). Определение
систем более общего вида, допускающих фактическое разделение переменных,
является частным вопросом римановой геометрии, так что результаты,
имеющиеся в обширной литературе относительно обобщения лиувиллевых
систем, выходят за рамки этой книги. Следует лишь упомянуть, что
разделение переменных само по себе не решает проблем динамики и что
остающийся вопрос об "униформизации" возникающей абелевой проблемы
инверсии (см. § 196) освещается обычно в литературе совсем
неудовлетворительно. Однако Адамар показал (Bull, des Sci. Math. (2) 35
(1911), 106-113), каким образом можно преодолеть препятствия с помощью
непосредственного топологического анализа. Сведение этой нелокальной
абелевой проблемы инверсии для лиувиллевых систем к теории почти
периодических функций, как это изложено в тексте, было достигнуто
Уинтнером (Amer. Journ. of Math. 60 (1938), 463-472). Теорема, упомянутая
в начале § 198 (Н. Bohr, Medd. Danske Akad, 10 (1931), No. 12iv; см.
также H. Bohr, B. Jessen, Pisa Ann. (2) 1 (1932), 387-398), аналогична
теореме, указанной в § 484.
§§ 200-202. Методическое содержание приведенных замечаний представляется
в настоящее время банальным как вследствие развития математических
исследований в течение последних шести - десяти лет, так и благодаря
тому, что можно назвать устной традицией.
Фундаментальная проблема, сформулированная Эренфестом (P. Е h г е п-fest,
Ztshr. fur Physik 19 (1923), 242-245), еще не решена; см. действительно
A. Win tner, Ашег. Journ. of Math. 60 (1938), 471.
§ 203. Все это принадлежит Эйлеру (около 1765 г.); его многие статьи на
этот счет и последующая литература, выходившая до 1862 г., обсуждаются в
статье Кэли (Cayley, Papers, 4, 524-532); ссылки, охватывающие публикации
до 1905 г., даны в статье Штеккеля (Enc. d. math. Wiss. 4 , 497-498).
§ 205. См. J. Andrade, Journ. de l'Ec. Polytech. 60 (1890), 55.
§§ 206-210. В этих и следующих параграфах преследуется цель
систематизировать ряд элементарных фактов, которые, даже если они не
освещались в литературе, можно все же рассматривать как известные. Что
касается изящного результата, связанного с теорией Ли, то см. L е v i - С
i v i-ta, Rend. Acc. Lincei (5) 52 (1896), 164-171. Соображения,
изложенные в § 207, можно, по-видимому, уточнить в том смысле, что если j
> к, то интегралы площадей позволяют выполнить редукцию от га до ft в
