Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, рассматривая при любом фиксированном а наименьшую верхнюю
границу Л = = Л (а) всех тех неотрицательных чисел р., при которых какой-
либо из рядов (43), (43а) или оба они сходятся, придем к следующему
результату.
Для каждого положительного иррационального числа а существует
неотрицательное число Л = Л (а) такое, что
(?) если значение функции Л (определенной лишь при иррациональных а > 0)
равно при заданном а нулю, то функция (42) времени t при этом а и при
сколь угодно малом р > 0 не является ни ограниченной, ни почти
периодической;
(ii) если, с другой стороны, а таково, что Л = Л (а) отлично от нуля, то
функция (42) при этом а ограничена и почти периодическая для
положительных р<Л(а), но не будет ограниченной и почти периодической для
положительных р > А (а). В предельном случае р = Л (а) >0 сказать ничего
нельзя.
§ 528а. Конечно, 0 ^ Л(а) ^ 1. Действительно, ряд
22 ^n+m
сходится лишь при р < 1. Поэтому если А (а) > 1 для некоторого а, то
сходимость ряда (43а) могла бы иметь место лишь при условии, что |п - та\
-*¦ оо при п + т -*¦ оо. Но последнее условие не выполняется ни при каком
фиксированном а, так как известно, что при любом иррациональном а > 0
существует бесконечное число пар целых чисел и*, /ид, для которых
ct - - к= 1,2,...,
1Щ т1к
где nih-*-o° при /с-"-оо (см. доказательство (И) § 125).
§§ 516-529. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
497
§ 529. Результат, указанный в § 528, сводит рассматриваемую проблему к
исследованию функции А (а), определенной для всех иррациональных а > 0
как наименьшая верхняя граница тех р ^ 0, при которых ряд (43а) сходится.
Оказывается, что А (а) является вообще разрывной функцией а.
Действительно, хотя А (а) = 1 для всюду плотного множества значений а, но
при некоторых а это равенство может нарушаться и даже А (а) =0 для
значений а, образующих всюду плотное множество. Можно доказать это (и
значительно большее) следующим образом.
С одной стороны, те значения а, для которых А (а) =0 образуют множество,
принадлежащее в каком-либо промежутке изменения а ко второй категории в
смысле Бэра. Поэтому это множество содержит несчетное множество точек в
промежутке изменения а сколь угодно малой длины и как угодно
расположенного на оси а. Этот вывод можно сделать на том основании, что
ряд (43а) представляет собой частный случай рядов, известных в теории
функций действительного переменного как ряды Бореля *).
С другой стороны, почти всюду А (а) = 1. Другими словами, множество тех
а, для которых 0 ^ А (а) < 1, имеет нулевую лебегову меру. Этот результат
**) является прямым следствием теоремы относительно диофантовых
приближений. Действительно, известно, что не только для любого
алгебраического иррационального числа а, но и почти для любого
иррационального а существует два положительных числа с - с (а), С = С (а)
таких, что
п I С
а > -
т I тс
для любых целых чисел п, т. Из существования же такой пары чисел с = с
(а), С - С (а) вытекает, что ряд (43а) сходится при всех р ¦< 1, т. е.
что А(а) = 1.
*) Интересно, что астроном Брунс пришел к рядам вида (43а) и к довольно
подробному анализу их необычного поведения гораздо раньше (в 1884 г.),
чем была развита математиками общая теория рядов Бореля.
**) Выраженный в терминах "геометрической вероятности" астрономом
Гюльденом гораздо раньше (в 1888 г.). чем математики развили теорию меры.
32 А, Уинтнер
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
Последующие страницы содержат ссылки на литературу и дополнения к
соответствующим разделам основного текста, а также некоторые сведения
исторического характера, которые могут представить интерес.
Вопросы, излагаемые в главах I и II, хотя и не само их изложение,
являются настолько классическими, что не было возможным привести столь же
полные сведения о имеющейся литературе, как в случае остальных глав.
ГЛАВА I
Основными являются следующие монографии (они относятся также к главам II
и III): С. G. Jacobi, Vorlesungen iibcr Dynamik (1866 (1842- 1843];
позднее (1884) издано как дополнительный том к собранию сочинений Якоби);
Н. Poincare, Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste 1 (1892); 2
(1893); 3 (1899); G. D. Birkhoff, Dynamical Systems (1927); T. Levi-
Civita - U. Amaldi, Lezioni di Meccanica Razionale (три тома, года
издания нет) *).
Ссылки на классическую литературу по теории канонических систеч можно
найти в статье Кэли (Caylev, 1857, Papers 3, 156 - 204) и в некоторых
учебниках (в частности, в книге Е. Т. Whittaker. Treatise on the
analytical dynamics of particles and Rigid bodies, 3 rd. ed., 1927) **).
Было бы весьма желательным дать подробный критический анализ
исторического развития исследований по атому вопросу. Имеющиеся в
литературе ссылки относительно происхождения фундаментальных
математических понятий в аналитической динамике почти все ошибочны.
Например, "преобразование Лежандра" (§§ 5-7) встречается впервые не у
Лежандра, а у Эйлера, если не у Лейбница (см. P. S ta с k el, Ribl. Math.
