Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения оказываются теперь
линейными, в отличие от нелинейных уравнений, рассматривавшихся в §§ 506-
514.
§ 525. Прибавляя (39) к (3), мы получим две почти периодические функции х
+ е|, у + ец времени t, которые в соответствии с изложенным в § 86
представляют приближенное решение уравнений (37). Естественно задать
вопрос о том, можно или нельзя найти точное решение этих уравнений в виде
двойных почти периодических рядов, ДЛЯ которых функции X -)- ?^, у + ЕЦ
представили бы собой первые члены. При практическом построении теории
Луны молча предполагается, что ответ на этот вопрос положительный. Между
тем он представляет собой весьма сложную
494
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
математическую проблему, решение которой до сих пор ускользало при всех
попытках аналитического и топологического ее анализа.
Очевидно, что положение зависит в сильной степени от того, выполняются
или не выполняются условия соизмеримости, упомянутые в § 521.
I) Анализ первого случая сравнительно прост, хотя и достаточно громоздок
для того, чтобы его можно было изложить в этой книге. Этот анализ случая
соизмеримых характеристических показателей связан с общей теорией
периодических решений динамических систем с двумя степенями свободы.
II) Второй случай несоизмеримых характеристических показателей
сталкивается в небесной механике с фундаментальными трудностями.
Анализ этого случая приводит, по крайней мере формально, к бесконечному
итерациональному процессу квадратур. Мы покажем теперь, что в этом
процессе каждая квадратура в отдельности приводит к сложным и тонким
вопросам теории так называемых "малых знаменателей".
§ 526. Каждая из таких квадратур может быть проиллюстрирована на примере
определения функции / = f(t), для которой
ОО ОО
f'(t) = 2 2 lin+mcos(n-arn)t, (41)
Т~ 1 771=1
где р и а - положительные числа, причем р < 1, а а - иррациональное. Ряд
(41) определяет при -оо <; t <С +оо почти периодическую в смысле Бора (но
не периодическую) функцию f{t).
Если начальное значение /(0) равно нулю, то в соответствии с (41)
получим, что
ОО ОО
мп+т
/(*) = S' 2 --------- sin(ra - am)t. (42)
, п - am
71 =1 77? = 1
Действительно, поскольку 0 < р < 1, двойной ряд (41) сходится абсолютно и
равномерно при -сэо < ? < +°° и почленная интеграция допустима. По той же
причине двойной ряд (42) сходится абсолютно и равномерно при -Т ^ t ^ Т,
где Т > 0 - произвольно большое фиксированное число. Отсюда следует, что
ряд (42) сходится при -оо < t < +°° абсолютно, но не гарантируется
равномерная сходимость при -оо < t < +°°.
§ 527. Оказывается, что функция, представимая рядом (42), не является
вообще ограниченной при - оо < t < +°°- Этот факт
§§ 516-529. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
495
имеет исторический интерес, так как основатели небесной механики
молчаливо предполагали, что если только рассматриваемые координаты
представимы тригонометрическими рядами вида (42), то на вопрос об
устойчивости можно ответить положительно.
§ 527а. По-видимому, если понимать устойчивость в указанном в § 131
смысле, то справедливо именно утверждение, противоположное тому, которое
молчаливо принималось (и было, как теперь доказано, неверным). Другими
словами, появление "малых делителей" п - am в (42) может, по-видимому,
служить признаком обычной картины движения, о которой упоминалось в §§
127, 131 (см. также примечание в § 123).
В этой связи можно заметить, что при формальном подходе к проблемам,
рассматривавшимся в §§ 487 и 522, мы пришли бы автоматически к малым
делителям, которые оказались безвредными лишь потому, что можно заменить
формальный анализ соответствующим применением общей теоремы, приведенной
§ 528. С целью анализа вопроса об ограниченности функции f(t) (при -оо <
f < +оо) заметим сначала, что производная (41) функции (42) является
почти периодической. Из известной теоремы относительно почти
периодических функций (П. Боль) тогда следует, что функция /(f)
ограничена тогда и только тогда, когда она почти периодическая.
Вместе с тем необходимое (но само по себе не достаточное) условие почти
периодичности функции (42) заключается в требовании сходимости ряда из
квадратов амплитуд
Кроме того, если ряд (43) сходится при фиксированном р = = До > 0 и при
некотором а, то гарантируется не только сходимость этого ряда при любом
положительном р < р0 и при том же а, но также сходимость при О <С р < ро
и том же а ряда
в § 484.
| п - am |
(43а)
Действительно, если ряд (43) сходится при р = ро > 0, то, выбирая
положительное 0 < 1 и полагая р = 0ро, можем на
496
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
основании неравенства
(2 1*л|)!<(2"?)(2 "?)
заключить, что ряд (43а) при указанных р и а сходится. Наоборот,
сходимость ряда (43а) достаточна для сходимости ряда (43), так как если
2-N<+00,
то также
2 °i < + °°-
Однако из сходимости (43а) вытекает равномерная сходимость при -оо < t <
+°о ряда (43), сходящегося, следовательно, к почти периодической функции.
