Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
[72] микроскопическое выражение для электромагнитного тензора энергии-
импульса, найденное в § 104.
Введем для этого систему собственных координат, относительно которой в
данный момент в рассматриваемой точке полный поток энергии равен нулю. В
такой системе координат компоненты тензора энергии - импульса, если его
рассматривать с микроскопической точки зрения, выражаются классическим
образом через напряженности электрического и магнитного
*) Дальше Толмен использует термин "fluid" более широко. Иногда он
переводится как "материя". (Прим. ред.)
§ 109. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСЛ ИЗОТРОПНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 277
полей, например (§ 104):
Тп = -\[е\-е1-е\- |- Hi -Н2У- Н2гI.
Г2=-(ЕХЕУ+НХНУ),
(109.3)
Т1*=(ЕуНг-Е,Ну),
Т11 == ~ (El + Е2у El + Hi + Hi + Hi).
Чтобы можно было перейти от этих формул к соответствующим
макроскопическим величинам, надо, чтобы в среднем были справедливы
соотношения
Е\^Е\ = Е\ и Н\ Hi = Н\, (109.4)
в силу того что усредненные напряженности разновесного излучения не
должны зависеть от направлений. Смешанные произведения окажутся равными
нулю:
ExEy=EyEz=EzEx=0 и HxHy=HyHz = HzHx=0, (109.5)
поскольку отсутствие фазовых соотношений делает положительные и
отрицательные мгновенные значения такого типа произведений
равновероятными; кроме того,
ЕуНг-EzHy=EZHX-EXHZ=ЕХНУ-ЕУНХ-0, (109.6)
ибо система координат выбрана так, что в среднем поток энергии равняется
нулю.
Применяя найденные правила усреднения к выражению для макроскопического
тензора энергии - импульса (109.3), легко убедиться, что единственными
его компонентами, не исчезающими после усреднения, будут
Тп = Тза = Тзз=ро< т**=роо, (Ю9.7)
причем роо и ро связаны соотношением
Роо = Зро, (109.8)
в котором роо - собственная макроскопическая плотность энер-
гии в данной точке, т. е. усредненное выражение для плотности
электромагнитной энергии в отсутствие вещества; три неисчезающих
компоненты максвелловских натяжений равны одной трети роо каждая, т. е.
давлению излучения р0.
Получив выражение для тензора энергии - импульса (109.7) в избранной
системе координат, можно, конечно, записать его, пользуясь правилами
тензорных преобразований, и в любой си-стеме координат. Действительно,
применяя тот же самый способ, который использовался в § 85 при получении
общего выражения
278
ГЛ. VU1. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
для тензора энергии - импульса обычной идеальной жидкости, когда известны
его компоненты в собственных координатах, мы сразу приходим к искомому
выражению для тензора энергии - импульса равновесного излучения в виде
A v*1 A yV
^ = + -ё^'Ро' Роо = 3 р0, (109.9)
где "скорость" dx^jds надо теперь интерпретировать как скорость
локального наблюдателя, для которого в среднем нет никакого потока
энергии и которого поэтому можно считать движущимся вместе со всем
излучением.
§ 110. Гравитационная масса изотропного излучения
Итак, мы показали, что выбор тензора энергии - импульса изотропного
излучения, основанный на аналогии с идеальной жидкостью, вполне разумен.
С помощью установленных формул мы можем теперь найти интересное свойство
электромагнитного излучения - способность создавать гравитационное поле.
Рассмотрим статическую сферу, заполненную идеальной жидкостью. Интервал в
этом случае можно задать так:
ds2--ev(dx2-\-dy2+dz2) -\-evdt2. (110.1)
Будем считать в соответствии с § 91, что масса сферы т равняется ее
энергии U, а последнюю, согласно § 97, выразим в виде интеграла по всему
объему жидкости, т. е.
1
т = U = |(р00 -f Зр0)е2 dV0, (110.2)
где dVо - элемент собственного объема жидкости.
Как следует из наших рассуждений, последнее выражение применимо не
только к жидкой сфере, но и к смеси вещества и
излучения. Далее, величина т может рассматриваться как ха-
рактеристика способности сферы создавать гравитационное поле, поскольку в
соответствии с определением, данным в § 90, эта величина должна совпадать
с постоянной, стоящей в шварц-шильдовском выражении для интеграла в
случае пустого пространства, окружающего сферу. Учтем теперь то
обстоятельство, что давление ро неупорядоченного излучения составляет
одну треть плотности энергии роо" а давление в веществе в обычных
условиях составляет лишь незначительную долю от его плотности. Мы
приходим тогда к интересному заключению, что изотропное излучение внутри
жидкой сферы дает вдвое больший вклад в гравитационное поле сферы по
сравнению с таким же количеством энергии в форме вещества.
§ 111. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ
279
Интересно сравнить это заключение с фактом, уже упомянутым в конце § 83,
б, что гравитационное отклонение света, проходящего вблизи притягивающей
его массы, вдвое больше того, что следует из ньютоновской теории для
частицы, движущейся со скоростью света. В последующих параграфах мы
найдем аналогичные различия в свойствах вещества и излучения и для других
эффектов.
§ 111. Тензор энергии - импульса направленного потока
излучения
Рассмотрев изотропное излучение, перейдем теперь к случаю направленного
