Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
очевидно, работу, необходимую для того, чтобы перенести все вещество,
содержащееся в этом слое, на бесконечность, можно воспользоваться обычным
выражением для потенциальной энергии и написать:
3 j р dV = - j -у- рф dV. (97.9)
Подставляя затем (97.9) в (97.8), получаем полную энергию
сферического объема жидкости:
С/ = J Роо^о + J* (97.10)
Таким образом, в ньютоновском приближении релятивистская
формула для полной энергии жидкой сферы сводится к сумме полной
собственной энергии и потенциальной гравитационной энергии обычной
ньютоновской теории. Этот результат, естественно, укрепляет нашу
уверенность в практических преимуществах эйнштейновского метода,
использующего псевдотензорную плотность потенциальной гравитационной
энергии и импульса t^.
§ 98. Нестатический сферически симметричный интервал
Обратимся теперь к наиболее сложному случаю - нестатическому сферически
симметричному интервалу. Предположим, что в соответствии с (94.6) можно
записать решение в стандартной форме:
ds2~-eldr2-r2dQ2-г2 sin20 evd/2,
}.=X(r, t), v = v(r, t). (98.1)
Символы Кристоффеля, соответствующие этому интервалу, имеют вид
258
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
rl2 = ctge,
Гзз = - г sin ее-*,
Г|3 = - sin 0 cos 0,
где штрих означает дифференцирование по г, точка - по t; все остальные
символы исчезают.
Используя эти значения для символов Кристоффеля, можно вычислить
неисчезающие компоненты тензора энергии - импульса *):
8яГ1 = -е-^- + 1) + 1-Л,
SnTl - 8л71 = - е-^ - ^ -f +
+ е""(т+т-т)-л- <98-3) 8я71 = в-^^-1-) + 1-Л,
8л7^ = - е~'лу,
8 пТ\ = e~vy.
Интересно сравнить эти выражения для компонент тензора энергии - импульса
с соответствующими выражениями (95.3), полученными в статическом случае.
Как указывал Лемэтр, разница только в том, что появляются дополнительные
члены в компонентах поперечных тензоров натяжений Т\ и Т\ и новые
отличные от нуля компоненты Т\ и Т\. Грубо говоря, переход от
статического случая к нестатическому соответствует появлению поперечной
волны, связанной с радиальным потоком энергии.
*) Эти величины для символов Кристоффеля и для компонент тензора энергии
- импульса были вычислены Б. Подольским и автором. Величины для Тц
согласуются с результатами Лемэтра [69], рассматривавшего этот же
интервал.
rii = rji =
Г1
I 44
К
2 ev я v ,
Г44 = у V,
(98.2)
5 98. НЕСТАТИЧЕСКИЙ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 259
Можно, конечно, ввести в рассматриваемом нами случае сферической
симметрии изотропные координаты и предположить, что решение согласно
(94.8) имеет вид
ds2-~ell(dr2-{-r2dQ2-{-r2 sin2 0 dtp2) -\-evdt2,
Символы Кристоффеля, соответствующие этому интервалу, равны:
где штрих опять-таки означает дифференцирование по г, точка - по t, а
символы со всеми прочими комбинациями индексов равняются нулю.
Неисчезающие компоненты тензора энергии - импульса, соответствующие этой
форме интервала, выглядят следующим
ц=ц(г,/), v=v(r, t).
(98.4)
rli=4p',
Г?2 = т- +y9'. Г?з == - Н-уИ-'. Ги =
l12 = yrV*-vp,
iV-ctg е,
(98.5)
Гзз - - sin 0 cos 0,
1м = Yr2sina0^-> т"3 I
1 34 *2" И""
rS, = | + уц'.
Гз2 = Ctg 0,
260
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ механика
образом *): 8яТ! = -
-Л,
8л71> -- 8лТз ¦- - е~>1
(98.6)
§ 99. Теорема Биркгоффа
Выражение (98.3) для тензора энергии - импульса, соответствующее
стандартной форме интервала (98.1), дает возможность получить без труда
важную теорему, даказанную впервые Бирк-гоффом [70].
Рассмотрим сферически симметричное тело, окруженное пустым пространством,
свободным от вещества и излучения. В этом пустом пространстве все
компоненты тензора энергии - импульса (98.3) равны нулю, в частности, и
Т\ 0, откуда вытекает, что
Однако при условии К-0 выражение для тензора энергии - импульса (98.3)
становится по форме идентичным выражению (95.3), найденному в статическом
случае; следовательно, в пустом пространстве, окружающем сферу, опять-
такн справедливо внешнее решение Шварцшильда (§ 96)
где ш, как и раньше,- постоянная, не зависящая от времени, так что
остается справедливым (99.1).
*) Впервые эти величины для символов Кристоффеля и для компонент тензора
энергии - импульса были вычислены Б. Подольским. Впоследствии эти
результаты проверялись Динглем с помощью полученных им более общих
формул, которые приведены у нас ниже, в § 100.
(99.1)
2т Лг2
7 Г'
(99.2)
§ 100. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ФОРМА ИНТЕРВАЛА
261
Таким образом, одного только условия сферической симметрии достаточно,
чтобы получить внешнее статическое решение Шварцшильда в пустом
пространстве, окружающем сферу, заполненную веществом*).
В сфере могут происходить сферически симметричные пульсации, не
сопровождающиеся какими-либо потерями массы или энергии, в форме
гравитационных волн. Реальная потеря энергии требует отказа от условия
пустоты пространства вокруг сферы и допущения потоков вещества и
излучения в нем.
§ 100. Более общая форма интервала
В заключение настоящей главы приведем символы Кристоффеля и компоненты
тензора энергии - импульса, соответствующие более общему виду интервала,
