Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
которые были вычислены Динглем [71].
Дннгль исходил из следующей формы интервала:
ds2=-A (dx1)2-В (dx2)2-С (dx3) 2-\-D (dx*)2. (100.1)
Здесь А, В, С и D - произвольные функции координат; все эти четыре
функции должны быть существенно положительными, чтобы х1, х2, х3 были
пространственноподобными, а х4- времени-подобными координатами. Эта форма
интервала является более общей, нежели все рассмотренные нами ранее.
Единственное предположение состоит в том, что можно избавиться от
перекрестных произведений; но при этом не предполагается сферической
симметрии.
Символы Кристоффеля, соответствующие такому интервалу, таковы:
1 д А 1 дА 1 дА " 1
1 дА
1 и = + Та Г1 *21 = 4- 2 А дх2 Г1 -431 - - + 2 А
дх3 го = + 2 А дх4
2 11 = - 1 2 в дА дх2 Г2 1 21 - 1 2 В дВ дх1 г2 - Х31 "
= 0 Г2 14\ = 0
3 11 = - 1 2 с дА дх3 Г3 1 21 - 0 11 со со С-н
= + 1 2 С дС дх1 Г3 1 41 = 0
4 1 дА Г4 1 21
1 dD
1 = + 2D дх4 - 0 г4 - 1 31 - = 0
г<41 = + 2D дх'
1 = + 1 дА " 1 1 дВ
12 2 А дх2 F 22 = - 2 А ex'- г' 32 = 0 г"
= 0
О 1 дБ -^,9 1 дВ 1 дВ
1 дВ
л 12 = + 2 В дх1 г 1 22 = + 2 В дх2 I' - _ 1 32 " = +
2 В дх3 г" = + 2 В дх<
*) Теорема Биркгоффа представляет обобщение теоремы Ныотона о том, что
поле сферического распределения масс эквивалентно полю точечного
источника. (Прим. ред.)
262
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Г3 1 12 , 0 Г3 22 = - 1 ав 2С дх2 рЗ 1 32 - . 4- 1 ас 2С дх2
рЗ 1 42 = 0
rf* = 0 Г4 1 22 _j_ 1 ав 2D ах4 Г4 32 = 0 Г442 = +
1 до 2D дх2
r!3 i ад + 2Л дх2 Г1 *23 = 0 Гзз == - 1 ас 2Д ах' Г1з
. 0
Г2 1 13 0 Г2 1 23 1 ав 2в ах3 гзз = - 1 ас 2В дх2 Г2 43
^0
1 3 1 13 i ас ~r= + 2С дх1 пЗ 23 = + 1 ас 2с ах* г3 А 33 = +
1 ас 2С дх2 рЗ 43 - + 1 ас 2с ах*
Г4 1 13 .0 Г4 1 23 = 0 г4 Чз "Г 1 ас 2D ах' Г4 1 43
= + 1 dD 2D дх2
гн 1 ад - + 2Д ах4 Г1 1 24 = 0 Г34 = 0 Г1 1 44
= + 1 dD 2А дх1
1'н = 0 Г2 24 = + 1 ав 2в ах* 1'34 ^ 0 Г2 44 = + 1 dD 2В дх2
l'?4 = 0 рЗ 24 = 0 рЗ 34 = + 1 ас 2с ах4 рЗ 1 44 = + 1 dD
2 С ах3
1'м 1 dD = + 2D ax' Г4 1 24 ;= + 1 ас 2D ах* Г4 34 = + 1 ао 2D ахз
г' 44 = + 1 dD 2D ах4'
(100.2)
а компоненты тензора энергии - импульса определяются
формулами:
оут.1 1 Г 1 / дгВ д2С \ 1 / д2В дЮ \
1 2 [вс (a (х3)* + д (х3)3J BD (а (х4)* д (х2)3)
1 / а*с а*о \]
cd (а (х<)3 a (x")s)
LГ_1_ I А-\^?.дВ л (дВ\%\ __
1 [ВС2 [дх2 дх2 г [дх2 j ) ^ СВ2 [дх2 дх2 + [дх*)}
1 [дРдВ (дВ\2\
BD2 [ах4 дх4 [дх2) J ^ DB* (ах* дх2 (ах4) )
[_fd?_dD_ __ (dDY\ , J_ (dD dC_ __ fdCX2)
cd2 (ax4 dx4 (ax3J j dc2 (ax2 ax3 (ax4j j ~~
i_ гас ao as ад a? асд _
BCD (ax* dx2 dx2 dx2 dx4 ax4}
i as ac i as ao 1 ac aoi
две ax1 ax> /ibd ax' ax' лcD ax' ax*J ' A •
§ 100. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ФОРМА ИНТЕРВАЛА
264
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
1 f ??. -i_ - - 4-дА дВ
ЛВС Ш ' дх* дх2 '
дх3 дх3 1 дА дВ
!} +
+
8яАТ\ = - 8пВТ 1 дС дС
ABD дх4 дх1
д*С
1 дАдС ACD дх4 дх1 +
ав ас
BCD ах4 ах4
Л,
+
а2р 1
с ах>ах* r d ax*ax2J
1Г1
4 |_С'
+
1 ар ар
2 дх1 дх* D* дх1 дх2
Л_а?ас,_1_алар ЛС ах2 а.х1 + ЛР дх* дх1 +
, _1__ав ас^ i ав ар ^ вс ах1 дх* ^ вр ах' аха
8яЛТз = - 8пСТ] -
1
д*В 1
3 "г
а2р
1 ав ав в2 ах1 ах3
в axiax 1 ар ар
•]
f
+
+
d2 ах1 ах3 1 ал ар
d ах'ах3
1 ал ав лв ах3 ах1 +
, 1 ас ав
- 8яВП =
8"Crss--T[i
+ т[г
ЛР дх3 дх1 д*А
4-
СВ ах1 дх3
а3р
1 ас ар ср ах1 ахз
Л дх*дх3 ' D дх*дх3
ал ал , 1 ар ар , i
ахз ахз
-+
-t-
р2 а.х2 ахз
_1_м ав лв ах2 ахз
1 ал ас лс ах3 ах2
1 ар ав рв ах2 ахз
8пАТ\
~Н
8nDT\
д*В
В дх1дх*
1 а2 с
С дх
>2с -j 1 г 1 ав ав 1
cwj ' 4 [в2 ах1 ах4 + с2
1 ар ас
DC ax' дх2
ас ас ах1 ах*
1 ал ав
ЛВ ах4 дх1
1 ал ас 1 ар ав i ар ас
лс ах4 ах1 рв ах1 ах4 рс ах1 ах*
8лВ71
8лОГа =
1 ам , 1
л ах2 ах"
+
а2с
с ах2 ах4
1 ал ал
Л2 ах2 дх4
1 ас ас с2 ах2 ах4
+
1 ал ав
8лС71
ЛВ ах2 дх4 + 8я?>71 =
1 ал ар лр ах4 ах2
j^ac^dB св ах2 ах4
1 ар ас рс ах2 ах4
г 1 а2л 1 а2в j_ 1
л ахзах4 в ахзах4 1 4
1 ал ал
Л2 ах3 дх4
1 ав ав в2 ах3 ах4
ГЛАВА VIII РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ЧАСТЬ I
КОВАРИАНТНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА § 101. Введение
В этой главе мы кратко рассмотрим обычное обобщение электродинамики в
общей теории относительности, которое может быть сделано на основе
электродинамики специальной теории, изложенной в главе IV. Мы рассмотрим
также несколько приложений, которые нам понадобятся впоследствии.
Мы начнем с релятивистского обобщения электронной теории Лоренца, не
обращая внимания на ее трудности, о которых мы уже говорили и которые
связаны с тем, что теория Лоренца развивается на основе микроскопической
точки зрения, игнорируя те ограничения на строгое микроскопическое
рассмотрение, которые возникают в соответствии с современным состоянием
квантовой теории.
После этого мы уделим немного внимания обобщению той макроскопической
теории, которая была развита во второй части главы IV.
§ 102. Обобщенная электронная теория Лоренца.
Уравнения поля
В специальной теории относительности мы показали (§ 46), что уравнения
