Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
определяет J*, и переписать с ее помощью последнее уравнение так:
д L dx* дх*
(po^V-яМ, (106.31
где ро - собственная плотность заряда, определяемая локальным
наблюдателем, a dx*jds - "скорость" этого заряда.
Чтобы показать наиболее простым образом, что это выражение означает
сохранение электрического заряда, удобно рассмотреть его в системе
естественных координат данной точки х, у, z и t. Тогда, поскольку тензор
gв данной точке будет иметь галилеевы значения, его первые производные по
координатам исчезнут, и можно воспользоваться соответствующими
соотношениями
v'=r(r)-1'
и переписать (106.3) в виде
- (п - - ^ 4- - (с - 4- ~ ( Л- - (
дх ds dt J ду ^Р° dsdtj dz (P°ds dtj ' д/ (P° ds)
==0.
Поскольку dtjds - множитель, характеризующий лоренцево сокращение,
последнее соотношение можно переписать еще так:
31 (Р"*) + + ?(Р"г) + щ =0, (106.41
где р - плотность заряда, а их, иу, uz - обычные компоненты скорости в
выбранной системе отсчета.
Выражение (106.4) совпадает с обычным уравнением непрерывности для некой
"субстанции" с плотностью р. Таким образом, закон сохранения
электрического заряда действительно содержится в исходной формуле, что и
требовалось доказать.
272
ГЛ. VII]. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 107. Гравитационное поле заряженной частицы
В качестве второго применения релятивистской электродинамики найдем
гравитационное поле, создаваемое заряженной частицей.
Будем считать, что частица покоится в начале системы координат. Тогда,
очевидно, можно выразить интервал в стандартной сферически симметричной
форме:
ds2--eKdr2-r2dQ2-г2 sin2 0 d<p2-f e'dt2, (107.1)
где к и v - функции только от г, исчезающие при больших значениях г. Для
того чтобы отыскать к и v, рассмотрим сначала электрическое поле,
окружающее частицу.
Так как потенциал фц в нашем случае - функция только от координаты г, то,
подставляя эту функцию в выражение (102.5), которое вводит через этот
потенциал полевой тензор Fнаходим, что единственными ненулевыми
компонентами этого тензора могут быть
/•21 = -Fl2, /*31 = -F\3, /*41=-F14-
Легко, кроме того, показать, что первые две компоненты также должны
исчезать. В самом деле, подставляя F2\ во второе из двух полевых
уравнений (106.1), найдем, что в пространстве, окружающем частицу,
справедливы соотношения
*?г=Тг [в"8"Т!,ТТ=7] = |(f!lC"5tt-,,sin0) = O,
откуда
Fn - const -e
Аналогичным образом можно получить выражение для F3l. Далее, известно,
что на больших расстояниях от частицы, где к и v стремятся к нулю и
становятся справедливыми обычные уравнения для электромагнитного поля,
компонента F2l должна обращаться в нуль. (Это следует из ее определения
через напряженность магнитного поля.) Поэтому константу в последнем
выражении надо положить равной нулю, откуда вытекает, что F2ь а также и
FS\ равны нулю повсюду.
Чтобы найти единственную неисчезающую компоненту полевого тензора F4l,
еще раз воспользуемся уравнением (106.1):
^ - Гг [""""Г., V=l\ = | (- sin в) = О,
из которого следует:
_ р р _ ?_ 4(>-+v)
41 - г4 , (107.2)
§ J07. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
273.
где е -постоянная интегрирования. Обычное определение /сц через
напряженность электрического поля, справедливое в нашем случае на большом
удалении от частицы, позволяет отождествлять 4яе с зарядом частицы в
принятых нами хевисайдовых, релятивистских единицах.
Получив это выражение для ненулевой компоненты тензора поля, мы можем
теперь подставить его в определение тензора энергии - импульса (104.1). В
итоге найдем
r} = -7l = -7l = rt = ~. (107.3)
Сравнивая затем (107.3) с соответствующими выражениями тензора энергии -
импульса, записанными через % и v в (95.3), придем к системе
дифференциальных уравнений
i512 - _ It. л. L) _ц I
г* ~ с г ' г-2
Г
4яе2 - = *-
4я82
- -е-
'¦(Т-Т^ + Т+Т^)- <'07.4)
Космологическая постоянная А здесь положена равной нулю, поскольку она не
представляет сейчас интереса. Система уравнений (107.4), как легко
убедиться, имеет решение, соответствующее интервалу
~ -2т/Г4-'4ле2/г2 " rW ~ г* ^ +
+ (l - 2 ml г + 4ne2/r2j dt2. (107.5)
Это выражение замечательно тем, что показывает, какой вклад дает энергия
электрического поля, окружающего заряд, в кривизну пространства -
времени. Оказывается, что для любой реальной заряженной частицы на
достаточном удалении от нее гравитационный эффект, возникающий за счет
энергии электрического поля, пренебрежимо мал по сравнению с тем, что
возникает из-за наличия у частицы собственной массы т. Действительно,
если рассмотреть частицу с массой и зарядом, которые обычно приписывают
электрону, то эти масса и заряд дают вклады в кривизну (в соответствующих
единицах), относящиеся как
4л"2/г2 2яе2 1,5-10~13
2 т/г тт
18 р. То;]мен
274 ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
(г сюда следует подставлять в сантиметрах). Итак, мы видим, что
"искривление" пространства - времени, вызываемое наличием заряда,
пренебрежимо мало по сравнению с эффектом, обусловленным массой, исключая
