Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Точный количественный расчет тока опирается на уравнение Больцмана для плотности электронов / в фазовом пространстве (см. приложение). Когда в однородной среде течет постоянный ток, производные df/dt и df/dxi обращаются в нуль, и основное уравнение (П. 1) принимает вид
где 0 — угол между вектором скорости w и электрическим полем Е. Выражение для [df(w)/d/]con было получено в общем виде Розенблютом, Мак Дональдом и Джаддом [29]. Решение этого уравнения далеко не простая задача.
Относительно простым является случай так называемого лоренцовского газа, т. е. полностью ионизованного газа, в котором, по предположению, электроны не взаимодействуют между собой, а ионы покоятся. В таком газе диффузионные коэффициенты очень просты, и для достаточно малого электрического поля E можно найти f точно. Электрическое
(5.33)
Столкновения заряженных частиц
183
сопротивление такого идеального лоренцовского газа, которое мы обозначим через дается формулой
it,/jm'/sZ«2c2lnA
~ oToatVA ’ (6.34)
2 (2 kT)
где Z — заряд иона. Подставляя численные значения, находим
Tli = 3,80- IOfiед‘ CGSM =
= 3,80 • IO3 ом • см. (5.35)
Чтобы получить истинное выражение для т) в ионизованном газе, нужно принять во внимание элек-трон-электронные столкновения. Этому вопросу посвящен ряд исследований. Каулинг [10] и более подробно Ландсгофф [20] использовали общую теорию Чепмена и Каулинга [8]. Аналогичный расчет с помощью диффузионных коэффициентов был выполнен Коэном, Спитцером и Роутли [9], а окончательная величина г) получена Спитцером и Хэрмом [36]. Эти различные исследования полностью согласуются между собой, и основные результаты можно представить в виде
= (5.86)
где значения величины уЕ, зависящей от заряда иона Z, приведены в табл. 4. Таким образом, в наиболее
Таблица 4
ОТНОШЕНИЕ ПРОВОДИМОСТИ І/tj К ПРОВОДИМОСТИ ЛОРЕНЦОВСКОГО ГАЗА
Заряд иона Z 1 2 4 1б OO
Че 0,582 0,683 0,785 0,923 1,000
184
Глава 5
важном случае Z= 1 мы имеем
TJ = 6,53- IO12-!^- ед. CGSM =
= 6,53 • IO3 ом • см. (6.37)
Экспериментальное подтверждение этих результатов получили Лин, Реслер и Кантровиц [21], а также Меккер, Петерс и Шенк [23]. Согласие с формулой (5.37) следует рассматривать, однако, как некоторую счастливую случайность, так как в этих экспериментах величина InA была невелика (3<1пЛ<6).
Наши результаты основаны на допущении, что поле E достаточно мало, так что потенциальная энергия, приобретаемая на средней длине свободного пробега, мала по сравнению с kT. Так как средняя длина свободного пробега пропорциональна до4, то при достаточно высоких скоростях основное предположение, очевидно, нарушается; энергия, приобретаемая на средней длине свободного пробега, возрастает с увеличением w. Когда энергия, приобретаемая на средней длине свободного пробега, сравнима с кинетической энергией, имеется заметная вероятность, что частица будет непрерывно ускоряться электрическим полем (если предположить, что плазма бесконечна, а поле E однородно). Вероятность изменения скорости из-за столкновений с другими заряженными частицами уменьшается с ростом E настолько быстро, что, как только скорость частицы превзойдет некоторую критическую величину, влияние всех последующих столкновений становится малым. Такие непрерывно ускоряющиеся частицы называются убегающими.
Скорость, после достижения которой электроны становятся убегающими, можно рассчитать из условия, чтобы —(ЛДО||> было меньше, чем ускорение еЕ/тс. Рассматривая электрон, скорость которого w
Столкновения заряженных частиц
185
параллельна Е, предположим, что скорость до намного больше среднеквадратичной скорости ионов или электронов, так что I2Q(IfW) в выражении (5.15) можно заменить на 1/(2ш2). При этих предположениях условие убегания электрона имеет вид
MeWi 1 (. . 2
>
где мы учли динамическое трение, обусловленное как другими электронами, так и ионами с зарядом Ze/c; безразмерный параметр Г дается формулой
г--2,,л=6'61 -wWst- I5-39)
Величина Г приближенно равна отношению средней скорости дрейфа электрона к хаотической тепловой скорости (SkTIme)'1*; для однородного лоренцовского газа из формул (2.9), (2.24) и (5.34) следует, что это отношение равно величине Г, умноженной на 8(2/Зя)1/г, или 3,69Г. Очевидно, выражение (5.37) для т) справедливо лишь при Г, малом по сравнению с единицей.
Скорость, с которой электроны диффундируют в область высоких энергий и становятся убегающими частицами, была приближенно рассчитана Дрейсером [12] для случая Z-1. Его численные результаты, полученные для Г в интервале от 0,3 до 0,03, можно представить в виде формулы
р = 24еЕе~(8/Г) = 309 _ (8/Г)'/2 (5.40)
г Гс (2mkT)^ tce ' \ >
где P,dt — доля электронов, которые убегают за ин-тервал времени dt, a tce — время самостолкновений для электронов, определяемое выражением (5.26).
Когда величина Г очень мала, убегающие электроны несущественны, и применима линеаризованная теория, приводящая к численным значениям, указанным в табл. 4. В этом случае известный интерес представляет распределение тока по электронам различных скоростей. На фиг. 12 приведены различные
