Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Исключая г|э с помощью формул (5.2) и (5.4), находим
<^>!=ггйотр <51»
Для усреднения по всем пробным частицам заметим, что число столкновений, для которых параметр столкновения находится между р и p + dp, равно 2лpwtijdp в 1 сек. Отсюда следует
Гщ/Ро
((Aw1)2) = 8ш^р2 f (Т?|^г- (5.12)
О
При бесконечном верхнем пределе этот интеграл расходится. Если введенный нами — пока произвольно —
170
Глава 5
параметр обрезания рт1ро велик по сравнению с единицей, то приближенно получим
Остается оценить расстояние обрезания рт. На первый взгляд рт следовало бы отождествить CO средним расстоянием между полевыми частицами, равным примерно при больших расстояниях на
пробную частицу будут одновременно действовать много полевых частиц, так что уравнением (5.1) пользоваться нельзя. Однако Коэн, Спитцер и Роутли [9] показали, что в ряде простых случаев отклонения, вызываемые полевыми частицами при прохождении на расстояниях, больших, чем nj4t правильно описываются формулами, выведенными в предположении парных столкновений. Физически это объясняется тем, что статистические флуктуации плотности заряда проносятся с той же средней скоростью, что и полевые частицы, и эти флуктуации вызывают отклонения, которые следует учитывать. Как показали Пайне и Бом [27], на расстояниях, превосходящих h, флуктуации плотности заряженных частиц уже не являются случайными, а ослабляются макроскопическими электрическими силами. Поэтому мы будем считать величину рт, равной h, причем Л определяется формулой (2.3). Более точные исследования Ренда [28] и других приводят фактически к тому же результату. Так как логарифмический член изменяется медленно, мы будем брать обычно среднее значение р0 для всех пробных частиц, заменяя mw2 на 3kT. Тогда
В этом соотношении мы пренебрегли экранировкой положительными ионами.
Когда температура электронов превышает приблизительно 4- IO50K, величина А должна быть несколько
((Aw1)2) = SvitifW3Pl In^-. (5.13)
Столкновения заряженных частиц
171
уменьшена по сравнению со значением, даваемым формулой (5.14). Это связано с квантовомеханическими эффектами. Электронная волна, проходящая через круглое отверстие радиуса р, отклоняется из-за диффракции на угол К/2 яр, где X — длина волны электрона. Если это отклонение превосходит классическое отклонение 2р0/р, то предыдущие выражения следует видоизменить; в соответствии с результатами Маршака [24] единственное необходимое изменение заключается в умножении Л на отношение 2аc/w, где а — постоянная тонкой структуры, равная 1/137. Это означает, что величину Л, даваемую выражением (5.14), нужно при 7\ превышающем 4,2« IO5°К, умножить на (4,2- 105/7у/2- Для столкновений между ионами квантовомеханическая поправка несущественна. Значения In Л для электронно-протонного газа приведены в табл. 1. При высоких плотностях и низких
Таблица 1
ЗНАЧЕНИЯ In А
Плотность электронов ng, CM -з
Tt 0K
1 10* 10« 10» IO12 101» 10'» IO21 №
IO2 16,3 12,8 9,43 5,97
IO3 19,7 16,3 12,8 9,43 9,57
10* 23,2 19,7 16,3 12,8 9,43 5,97
IO5 26,7 23,2 19,7 16,3 12,8 9,43 5,97
10е 29,7 26,3 22,8 19,3 15,9 12,4 8,96 5,54
IO7 32,0 28,5 25,1 21,6 18,1 14,7 11,2 7,85 4,39
IO8 34,3 30,9 27,4 24,0 20,5 17,0 13,6 10,1 6,69
температурах теория неприменима, и поэтому значения In Л не приводятся.
Точные вычисления диффузионных коэффициентов были выполнены Чандрасекаром [6, 7], который учел движение центра масс сталкивающихся частиц. Окончательные формулы для трех диффузионных коэффи-
172
Глава 5
циентов имеют вид
<дда,) = -ADl)[\ +%)g (lfw), (5.15)
<(*«» п =^-G(IfW), (5.16)
((Aw1)2) - ±2- {Ф (IfW) - G (lfw)}, (5.17)
(5.16)
где диффузионная постоянная Ad определяется соотношением
SrSnfZ2Z2f In Л Л —________L___L____ /к 1 Й\
Ф(;с) — обычный интеграл ошибок:
Значения G и разности Ф — G приведены в табл. 2. Из (5.9) сразу следует, что при стремлении ntf к бесконечности величина Ij также становится бесконечной. Тогда разность Ф (IfW) — G(IfW) стремится к единице, и выражение (5.17) переходит в (5.13). Входящая во все уравнения величина IfW есть, как видно из (5.9), просто отношение скорости w к среднеквадратичной двумерной скорости полевых частиц.
При выводе соотношений (5.15) — (5.17) были оставлены только члены, пропорциональные In Л. Чандрасекар назвал их основными членами. Из табл. 1 легко видеть, что InA, который обычно примерно равен отношению основных членов к неосновным членам, вообще говоря, не очень велик. В некоторых частных случаях неосновные члены в действительности превышают основные. В точной формуле для ((Да;и)2), например, члены, отброшенные в вы-
(5.19)
о
а функция G(x) связана с Ф(л:) формулой
(5.20)
Столкновения заряженных частиц
173
Таблица 2
ЗНАЧЕНИЯ G (х) и Ф (x) — Q (Jf)
X 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
G(X) 0 0,037 0,073 0,107 0,137 0,162 0,183 0,198 0,208 0,213
Ф (x) — G(x) 0 0,075 0,149 0,221 0,292 0,358 0,421 0,480 0,534 0,584
X 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 13 1,9
