Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Awx = (Awx)l + (Л®,)2 + • • • + (^x)n = S (Д®Л-
(5.6)
Предположим, что последовательные столкновения случайны. Тогда невозможно предсказать, каково точное значение Awx. Однако если рассмотреть много пробных частиц, движущихся первоначально в одном и том же направлении с одинаковой скоростью и испытывающих N столкновений, то можно усредиить Awx по всем этим частицам. Обозначим такое усредненное значение через Awx. Если распределение по скоростям в газе изотропно, то величина Awx будет, очевидно, вследствие симметрии равняться нулю. Однако при этом Awz не обязательно обращается в нуль.
Средний квадрат величины Awx не равен нулю. Этот средний квадрат содержит члены вида (&wx)j,
а также члены вида (Awx) j (Awx) k- Если отклонение (Awx) j при каждом столкновении мало, то повторные столкновения дадут такие же средние скорости, как и первые столкновения. Поэтому все N членов (&Wx)j
Столкновения заряженных частиц
167
одинаковы. С другой стороны, все перекрестные члены должны исчезнуть при усреднении по всем рассматриваемым частицам, поскольку последовательные столкновения не коррелированы между собой. Отсюда следует _____ _____
(bwxy = N{bwx)). (5.7)
Если мы изобразим скорость каждой пробной частицы точкой на плоскости (в пространстве скоростей), как показано на фиг. 11, то для рассматриваемой группы частиц первоначально все изображающие
I Wz •
Wx
Wx
I ." Д-ч; W2 :Й*
Wx
а б в
Фиг. 11. Диффузия пробных частиц в пространстве скоростей.
а — начальное состояние; б — после N столкновений; в —после 10 N столкновений.
точки будут совпадать (см. фиг. 11,а). После JV и 10 N столкновений точки разойдутся по плоскости, как изображено на фиг. 11,6 и в соответственно. Разброс точек возрастает по закону N'1*, но может иметь различные значения для разных направлений. Центр тяжести всей группы может переместиться на расстояние, пропорциональное N. При этом, конечно, предполагается, что пробные частицы, изображенные точками на плоскости, представляют собой лишь малую часть всех рассматриваемых частиц.
Мы видим, что в результате последовательных столкновений распределение по скоростям группы заряженных частиц постепенно расширяется. Этот
168
Глава 5
эффект аналогичен явлению диффузии частиц в обычном газе, и мы можем говорить, что столкновения вызывают диффузию в пространстве скоростей.
Чтобы оценить скорость диффузии в направлении Wx, будем считать N в уравнении (5.7) равным среднему числу столкновений в 1 сек, включая столкновения всех видов. Получающуюся при этом выборе N величину (ДWx)2 обозначим ((Ддо*)2). Эта величина, характеризующая увеличение дисперсии скоростей группы частиц в 1 сек, называется диффузионным коэффициентом. Соответствующие выражения (Awx) и ((Awx) (AWy)) также представляют собой диффузионные коэффициенты, которые обращаются в нуль вследствие симметрии, если полевые частицы имеют изотропное распределение по скоростям. Аналогично определяются диффузионные коэффициенты и для других направлений.
В принципе можно найти диффузионные коэффициенты при любом распределении полевых частиц по скоростям. Наиболее важным является кинетически равновесное распределение, или распределение Максвелла — Больцмана, которое можно написать в виде
/(0V) = -ge-w, (5.8)
где п — плотность рассматриваемых частиц; величина I связана с массой частиц га и температурой T равенством
<5-9>
Выражение (5.8) дает плотность частиц в 1 см3 и в единице фазового объема; его следует умножить на 4Jtw21 чтобы получить число частиц в 1 см3, приходящееся на единицу интервала абсолютной величины скорости независимо от направления.
Если можно считать, что функция распределения полевых частиц дается формулой (5.8), то достаточно-определить три независимых диффузионных коэффициента: (Аши), ((Доуц)2) и ((Доу±)2>. Первый из них
Столкновения заряженных частиц
169
равен (Awz) в системе координат, используемой в этом параграфе. Эта величина, вообще говоря, отрицательная, характеризует торможение движущихся пробных частиц из-за взаимодействия с полевыми частицами. Чандрасекар [7] назвал этот диффузионный коэффициент коэффициентом динамического трения. Величина ((Аиуц)2), или ((A^2)2) в нашем обозначении, дает скорость нарастания (Дш)2 в направлении, параллельном первоначальной скорости движения пробных частиц. Соответствующая величина <(Аш^)2) представляет собой скорость нарастания (Адо)2 в перпендикулярном направлении и равна удвоенному значению ((Aw*)2) или ((AWy)2).
Чтобы проиллюстрировать рассмотренные основные положения, вычислим ((AojjJ2) в простом случае, когда масса полевой частицы mf значительно больше массы пробных частиц т, так что скорость частиц mf можно считать равной нулю. Обычно при вычислении диффузионного коэффициента приходится интегрировать по распределению скоростей полевых частиц, но в данном простом случае необходимость в таком интегрировании отпадает.
Когда скорость Wf пренебрежимо мала, из (5.1) получаем
)2 = W2 sin2 х = 4w2 sin2 ф cos2 ф. (5.10)
