Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Основным уравнением состояния равновесия является (2.20). Пренебрегая гравитационным потенциалом ф, получаем
Vp = JXB = -^(B-V)B-.(4.1)
Здесь мы исключили j с помощью уравнения (2.19), положив величину dE/dt равной нулю. Уравнение (4.1) иногда называют уравнением магнитной гидростатики. Член (l/4n)(B*V)B в правой части уравнения
134
Глава 4
(4.1) представляет собой натяжение, обусловленное продольной упругостью силовых линий; когда эти линии искривлены, могут возникнуть объемные силы. Член (1/8я) VB2 представляет натяжение, вызванное взаимным отталкиванием силовых линий. Это натяжение описывается тензором давления, изотропным в плоскости, перпендикулярной к В.
Несколько простых результатов можно получить сразу. Если (4.1) скалярно умножить сначала на В, а затем на j, то в обоих случаях правая часть этого уравнения даст нуль. Следовательно, Vp не может иметь составляющих, параллельных Bnj; последние должны быть параллельны изобарическим поверхностям. В случае если силами инерции пренебречь нельзя или тензор давления анизотропен, уравнение (4.1) значительно усложняется. Тогда эти простые результаты, разумеется, несправедливы.
Если равновесные р и В известны, то исследование бесконечно малых возмущений также не вызывает принципиальных затруднений и, по существу, совпадет с анализом распространения волн бесконечно малой амплитуды, изложенным в предыдущей главе. В гл. 3 рассматривалось однородное состояние равновесия, поэтому малые возмущения описывались дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В данном случае эти коэффициенты являются функциями координат, так что исследование возмущений приводит к сложным задачам на собственные значения. Решив такую задачу, можно получить все нормальные типы волн, и если какой-нибудь из типов волн не осциллирует, а экспоненциально нарастает, то равновесие неустойчиво.
Здесь мы исследуем устойчивость более простым способом, рассматривая изменение потенциальной энергии для случая произвольной деформации. Потенциальную энергию плазмы W можно записать в виде
г=Л!г+^+«'1л- (4-2>
Равновесие и устойчивость
I3S
где dx — элемент объема, а интеграл берется по всему пространству, включающему занятый плазмой объем и окружающий плазму вакуум. Объем интегрирования конечен лишь в том случае, если система ограничена идеальным проводником. Поскольку мы пренебрегли сопротивлением и вязкостью, система не имеет потерь. Поэтому полная энергия, являющаяся суммой И? и кинетической энергии, не меняется.
Пусть возмущение системы описывается произ* вольным смещением $, являющимся функцией начального положения. Изменение потенциальной энергии 6И7, пропорциональное первой степени |, должно равняться нулю, поскольку, по предположению, система находится в равновесии. Если сохранить в б№ все члены порядка |2, то по знаку б№(|, \) можно определить, устойчива система или неустойчива. Если изменение энергии 6№(|, I) положительно, то кинетическая энергия не может превзойти начальную величину б№ и возмущение не будет нарастать. Однако при отрицательном б№(§, §) кинетическая энергия и |6WH нарастают с увеличением ?2, поэтому система неустойчива.
Для количественного анализа напишем закон сохранения энергии в виде
Полагая, что | изменяется во времени по законуе~м, получаем
Следовательно, при б№ < 0 частота ю оказывается мнимой и возмущение экспоненциально нарастает. Скорость нарастания возмущения одинакова для всех участков плазмы только в том случае, если | является собственной функцией соответствующей задачи на собственные значения. Однако даже при подстановке
T/р(5)*0==0. (4.3)
Ю2 = .JjTfeD-
(4.4)
W
Глава 4
приближенного значения | формула (4.4) правильно дает порядок величины скорости нарастания
Бернштейн, Фримен, Крускал и Кулсруд [2], исходя из макроскопических уравнений, получили общие уравнения для б№(|, |) и установили, что отрицательный знак 6W является необходимым и достаточным условием существования неустойчивости. Они нашли также метод определения возмущения обеспечивающего минимальность 6W. Некоторые относящиеся к этому вопросу исследования были выполнены Хайном, Люстом и Шлютером [9]. Розенблют и Лонг-майер [15] исследовали дрейф частиц при наличии отрицательного знака у и дали микроскопическое объяснение магнитогидродинамических неустойчивостей.
Ограничиваясь рамками макроскопического описания, рассмотрим сначала изменение энергии SH7s на поверхности раздела. На этой поверхности S, параллельной силовым линиям, давление плазмы в невозмущенном состоянии равновесия терпит разрыв. Мы получим величину 6W7J3, вычисляя изменение энергии поверхностного слоя, замененного гибкой мембраной, причем будем считать, что при медленных возмущениях мембраны плазма по обе стороны мембраны остается в равновесии. Обозначим возмущение, перпендикулярное к поверхности, символом In. Сила F, приходящаяся на единицу площади и перпендикулярная к поверхности раздела, пропорциональна |п. Величина работы, произведенной смещением \п над жидкостью, дается интегралом по этой поверхности
