Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
(3.59)
(3.60)
124
Глава З
Стиксом [37]; как и в случае затухания Ландау, циклотронное затухание для волн достаточно большой амплитуды является из-за захвата частиц процессом, ограниченным во времени.
в. Возбуждение волн, двухпучковая неустойчивость. Рассмотренные выше два механизма затухания связаны с превращением энергии волны в хаотическую кинетическую энергию при условии, что начальное распределение скоростей частиц близко к максвелловскому. Если же начальное распределение скоростей достаточно сильно отличается от максвелловского, то может возникнуть обратный процесс и будет происходить усиление волны. В образовании этого эффекта могут совместно участвовать несколько различных механизмов.
Простейшим усилительным процессом является процесс, обратный затуханию Ландау и происходящий вследствие захвата частиц, которые движутся с фазовой скоростью волны. Из приведенного выше анализа [см. уравнение (3.52)] ясно, что если производная df°(V)/dv положительна, а не отрицательна, то в результате захвата частиц волна будет получать, а не терять энергию.
Если плазму пронизывают один или несколько пучков электронов, то может возникнуть более эффективный вид усиления. В этом случае продольные электронные волны могут стать неустойчивыми и их амплитуда будет быстро нарастать.
Физический механизм, приводящий к неустойчивости, состоит в том, что электронный пучок, обгоняя продольную волну, амплитуда которой экспоненциально растет, замедляет свое движение относительно волны. Рассмотрим этот процесс в системе отсчета, относительно которой волна покоится. Если амплитуда волны экспоненциально возрастает, то компоненту Ex можно записать в виде
Ex = Ае”‘ sin *х.
(3.61)
Волны в плазме
125
Линеаризованное уравнение движения пучка электронов можно представить в виде
йи(1) , ди{1) еЕх /0
—+«—=—ш> <3-62>
где и— начальная скорость пучка и ы(1) — линейная поправка к скорости (или возмущение скорости). Соответствующее уравнение для возмущения плотности электронов п«> имеет вид
дл<» , dnw . <?и<» _n
dt dx ~^~n dx ~ (3'63)
Здесь n — невозмущенная плотность. Решая эти уравнения относительно п*1*, получаем, что возмущение содержит член, пропорциональный а и изменяющийся как sin хх, т. е. в фазе с Ex. Вследствие этого среднее значение произведения Ex отлично от нуля и приводит к замедлению пучка, пропорциональному Л2. Энергия, теряемая в результате торможения пучка, идет на увеличение энергии волны. В противоположном случае, когда амплитуда волны уменьшается, происходит увеличение скорости пучка относительно волны. Если величина а чисто мнимая, то и Ex будут сдвинуты по фазе на я/2, и полное изменение энергии пучка при прохождении расстояния, равного длине волны, будет равно нулю.
Чтобы вывести точно условия, при которых становится возможным усиление волны, нужно рассматривать по меньшей мере два сорта частиц. Обозначим через ttj, Zje/c, trij и Uj соответственно плотности, заряды, массы и скорости частиц сорта /. При этом
(і)
для каждого сорта частиц скорость щ и плотность п(Р удовлетворяют соответственно уравнениям (3.62) и (3.63). Для нахождения Ex можно использовать уравнение (3.2), в котором плотность тока /* определяется линеаризованным соотношением вида
Л = S (fliJlllJ + п Ju?)- I3-64)
J
126
Глава З
Считая теперь все величины пропорциональными ехр[/(хх — со/)] и рассматривая систему уравнений (3.2), (3.62), (3.63), мы получим окончательно следующее дисперсионное уравнение:
<*•«>
где шру дается известной формулой (3.8), в которую подставлены соответствующие значения щ, Zi и т,-для /-го сорта частиц. Уравнение (3.65) впервые было получено Хаэффом {19, 20] и Пирсом (32]. Обзор относящихся к этому вопросу работ дан в статье (9].
В том простом случае, когда имеются два пучка электронов одинаковой плотности с равными по величине и противоположными по направлению скоростями ± и/2, уравнение (3.65) переходит в квадратное уравнение относительно а>2, решение которого (26] имеет вид
0)2 = “р + jT1 ± К+toW7a- (3.66)
Частота о)р — это плазменная частота каждого из пучков в отдельности. Нетрудно видеть, что одно из решений а)2 является отрицательным при
ш < 2%®р. (3.67)
Если каждый пучок проходит расстояние, равное длине волны возмущения, за время, гораздо меньшее, чем I/о)р, то это возмущение будет устойчивым. Волны с мнимой частотой и являются стоячими волнами, которые экспоненциально нарастают или затухают; в системе отсчета, связанной с одним из пучков, частота этих волн равна хи/2. Если хы/юр мало, то инкремент нарастания описывается формулой
а == /<о г» ± . (3.68)
Такие длинные волны, которые по отношению к пучкам частиц имеют очень низкую частоту, в отсутствие
Волны в плазме
127
пучков не имеет себе аналога; возрастание (или уменьшение) амплитуды этих волн происходит медленно.
При ки/(?>р=3'1г инкремент нарастания становится максимальным и равен а — <dp/2. При этом в системе отсчета, связанной с одним из пучков, наблюдаемая частота равна 0,86 о)р. Очевидно, что в этом случае нарастание амплитуды волны происходит очень быстро. Вообще двухпучковая неустойчивость развивается весьма быстро, если в системе отсчета, в которой пучок покоится, частота сравнительно близка к плазменной частоте пучка. В этом случае обусловленное волной группирование частиц в пучке приводит к тому, что энергия волны увеличивается наибыстрей* шим образом.
