Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Вычислить напряженность электрического поля равномерно заряженного бесконечно тонкого диска на его геометрической оси.
Решение. Пусть а — поверхностная плотность электричества, т. е. количество электричества, приходящееся на единицу площади диска. По условию величина а одна и та же во всех точках плоскости диска. Из соображений симметрии ясно, что поле Е в любой точке А геометрической оси (рис. 5) должно быть
телесный угол, под которым площадка dS видна из точки А. Полное поле Е найдется интегрированием выражения dEx по телесному углу. Таким путем получаем
где Й — полный телесный угол, под которым диск виден из точки А. В частности, когда радиус диска бесконечно велик (бесконечная заряженная плоскость),
3. Один из опытов Кулона, с помощью которого он убедился, что сила притяжения между двумя разноименными точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, состоял в следующем. В окрестности маленького заряженного шарика подвешивалась на иити небольшая горизонтальная шеллаковая стрелка, на одном конце которой был прикреплен небольшой электрически заряженный кружок из золотой бумаги. Измерялся период малых колебаний стрелки Т в зависимости от ее расстояния г до заряженного шарика. Предполагая справедливым закон Кулона, найти зависимость периода колебаний стрелки от указанного расстояния и от других параметров системы. Длина стрелки I очень мала по сравнению с расстоянием г.
Ответ. Т — 2пг ¦, где qi и д.г — заряды шарика и кружка, а
О
направлено вдоль этой оси. Заметив это, возьмем в плоскости диска произвольную бесконечно малую площадку dS с зарядом dq = a dS. Напряженность поля, создаваемого этим зарядом в точке А, будет dE = ст dS/r2, а его проекция на ось О A dEx = ст dS cos а /г2, или dEх -- a dQ, где dQ = dS cos а /г2 —
JTiCf
Рис. 4.
Рис. 5.
Е = аО,
(3.6)
Е=2яа.
(3.7)
I — момент инерции стрелки.
24
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1ГЛ. 1
§ 4. Электрический диполь
I. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь (двойной полюс). Так называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов —q и +q, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (рис. 6). Пусть I — радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор р = ql называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом. Если длина I пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным. Вычислим электрическое поле точечного диполя. В окончательных формулах, которые мы получим, безразлично (в пределах принятой точности расчета), от какой точки диполя отсчитывается расстояние г до точки наблюдения.
-g *4 _ А?
>"—¦ ...>Э I н-----гг--------зА
-V + .\Г !. ______J
Рис. 6. Рис. 7.
Рассмотрим сначала случай, когда точка наблюдения А лежит на продолжении осп диполя (рис. 7). Напряженность электрического поля в этой точке будет
і
(4.1)
Допустим теперь, что точка наблюдения А лежит на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его центра О (рпс. 8). Вектор Е получается геометрическим сложением полей Ег и Е2, возбуждаемых точечными зарядами —q и -\-q. Как видно из рисунка, вектор Е антипараллелен р, а его длина (для точечного диполя) равна
E = q
' 1 ±\. г'И
d 1 \
\ '2
dr \г- j
-ї) {г2-Гі),
пли
2ql _ 2р
В векторной форме:
Е-2р-
В векторной форме:
(4.2)
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
25
?7 а\
//
/
Сн
О
р
Рис. 8.
\
\
Не обязательно, чтобы перпендикуляр АО проходил через центр (точечного) диполя. В принятом приближении формула (4.2) остается верной н тогда, когда за О принята любая точка диполя. Ее можно выбрать даже вне диполя. Важно только, чтобы ее расстояние до центра диполя было пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до точки наблюдения.
Общий случай сводится к разобранным частным случаям. Опустим из заряда -j-q перпендикуляр CD на линию наблюдения ВА (рис. 9).
Поместим в точке D два точечных заряда: +q и —q. Это не изменит поля. Но полученную систему четырех зарядов можно рассматривать как совокупность двух диполей с днпольными моментами Pi и р2, изображенными на рис. 9.
Вообще, при вычислении напряженности поля, а также сил, действующих на диполь, последний всегда можно заменить системой любого числа диполей, геометрическая сумма моментов которых равна моменту рассматриваемого диполя. Применяя теперь к диполям рг и р2 формулы (4.1) и (4.2), получим
Е = ^(2р!-р2),
или, исключая р2 с помощью соотношения Pl+Pi = р,
? = 71-(3/71-/?),
/
или, наконец, ? =
3 (рг)
гъ
(4.3)
Рис. 9.
2. Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом поле. Если
поле однородно, то результирующая сила F равна нулю, так как силы F1 и F2, действующие на отрицательный и положительный заряды диполя, равны по величине и противоположны по направлению (рис. 10). Момент этих сил М— М/У = Я М?1> или
М = [рЕ].
(4.4)
Момент М стремится повернуть ось диполя в направлении поля Е. Существуют два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и когда он антипараллелен ему. Первое положение устойчиво, второе — неустойчиво. Формула (4.4) верна также для точечного диполя в неоднородном поле.
