Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
/= оЕвнеш = т (Ех + Е2).
(6.13)
Исключив а с помощью формулы (6.9), преобразуем этот результат к виду
/=±(Е2п-Е1п)(Ег + Е2).
(6.14)
В частности, если поле нормально к заряженной поверхности, то
1
" 8л
(Е1-Е1) п.
(6.15)
Отсюда видно, что на единицу площади заряженной поверхности действуют силы натяжения ?!/(8л) и ?1/(8л), которые тянут ее наружу в противоположных направлениях.
8. Поле двух параллельных разноименно и равномерно заряженных плоскостей. Если плотности зарядов на обеих плоскостях одинаковы по вели- ,
чине, то будут одинаковы, но противоположно направлены и создаваемые ими поля. Между плоскостями направления полей сов-падают, и при их сложении получается — поле
Е = 4лст
(6.16)
*
Рис. 23.
(рис. 23). Во внешнем пространстве направления полей противоположны, и результирующее поле равно нулю. К тем же результатам можно прийти с помощью общего соотношения (6.9).
ЗАДАЧИ
1. Две бесконечные плоскопараллельные металлические пластинки помещены в вакууме параллельно друг другу (рис. 24). Полный заряд на единицу площади (т. е. сумма зарядов на обеих поверхностях пластинки) равен qx для первой пластинки и q2 для второй. Определить поверхностные плотности электрических зарядов на пластинках, а также напряженность электрического поля между ними и во внешнем пространстве.
Ответ. Oj = —ст2 = 1/2(ql — q2); а[ = о' = V2(?1 + q2)\ Е= 2л (ql — q2); Е = 2л (ft + q2).
2. Проводящая сфера радиуса R составлена из двух полусфер. Определить силу F, с которой отталкиваются эти полусферы, если полный заряд сферы равен Q.
.40
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Решение. Согласно формуле (6.15) на единицу поверхности сферы действует выталкивающая сила/ = Q2rt/(8nR4). Отсюда интегрированием легко получить
F = Q*/(8/?a).
. 3. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если в центре сферы поместить ?* дополнительно точечный заряд q? Сферу
¦*» считать полой и бесконечно тонкой.
Ответ. F = Q (Q + 2q)/(SR2).
4. Длинный проводящий цилиндр
радиуса R разрезан вдоль продольной оси. Определить силу отталкивания F, действующую на единицу длины каждого полуцилиндра, если на единицу длины ци-
линдра приходится заряд х.
Ответ. F = х2/(я/?).
5. Как изменится ответ в предыду-
щей задаче, если вдоль оси цилиндра поместить дополнительно тонкую заряженную нить, на единицу длины которой
приходится заряд х0? Цилиндр считать полым, а его стенки — бесконечно
тонкими.
Ответ. F = х (х + 2к0)/(л/?).
K\VN ш
?' И ? 1
1 1
< * ' % і
Ряс. 24.
§ 7. Дифференциальная форма электростатической теоремы Гаусса
I. Соотношение (5.5) выражает теорему Гаусса в интегральной 'форме. Придадим теперь этой теореме дифференциальную форму.
Назовем объемной плотностью электричества р количество электричества, отнесенное к единице объема. Тогда заряд в элементе объема dV представится выражением dq — pdV. Будем предполагать, что величина р является непрерывной функцией пространственных координат. Представление о непрерывном распределении электричества в пространстве является такой же идеализацией, как и представление о непрерывном распределении вещества. Такими представлениями широко пользуются в макроскопической физике.
Возьмем в пространстве бесконечно малый прямоугольный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, параллельными координатным осям прямоугольной системы координат (рис. 25). На грани 1 внешняя нормаль направлена в отрицательную сторону оси X. Поэтому поток вектора Е через эту грань будет —Ех (х) dy dz. На
§7]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ГАУССА
41
противоположной грани 2, наоборот, направление внешней нормали совпадает с положительным направлением оси X, и для потока через эту грань следует писать +ЕХ (х -Ь dx) dy dz. Сумма обоих потоков будет
потоки через две пары остальных граней. Полный поток через всю поверхность параллелепипеда:
где введено обозначение
По теореме Гаусса тот же поток равен 4яq = 4яр dV. Приравнивая оба выражения, получим
Эта формула и выражает электростатическую теорему Гаусса в дифференциальной форме.
Величина, определяемая выражением (7.2), сохраняет смысл независимо от конкретной физической или геометрической природы вектора Е. Она называется дивергенцией вектора Е. С дивергенцией приходится встречаться в самых разнообразных вопросах математики и физики, чем и оправдывается введение этого математического понятия.
2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме (7.3) является следствием той же теоремы в интегральной форме (5.5). Обращая порядок рассуждений, легко убедиться, что из дифференциальной формы теоремы Гаусса можно получить интегральную. Обе формы математически эквивалентны. Правда, дифференциальная форма имеет смысл лишь в том случае, когда электричество распределено в пространстве с конечной плотностью р. Если р обращается в бесконечность в отдельных точках, на линиях или поверхностях, то дифференциальная форма становится неприменимой J), тогда как интегральная форма (5.5) применима и в таких случаях. В этом смысле интегральная форма обладает большей математической общностью, чем дифференциальная. Однако разрывные распределения электричества с бесконечно большими значениями р являются математическими абстракциями и в физике должны рассматрн-
