Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
32
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
на поверхности, то точки последней вблизи самого заряда этому условию не удовлетворяют.
Допустим теперь, что поле Е является суперпозицией полей Ей Е3, ... точечных зарядов qlt цг, ... По теореме, доказанной выше, поток вектора Е равен сумме потоков векторов Еъ Е%, ... Если заряд qі окружен замкнутой поверхностью S, то его поток через эту поверхность будет 4л<7,. Если же заряд лежит во внешнем пространстве по отношению к поверхности S, то его поток равен нулю. В результате получается следующее фундаментальное соотношение:
называемое электростатической теоремой Гаусса. Здесь q —алгебраическая сумма всех зарядов, окруженных замкнутой поверх-
ленно разделить на малые части, каждая из которых может рассматриваться как точечный заряд.
3. Возьмем какой-либо произвольный замкнутый контур L и через каждую точку его проведем электрическую силовую линию (рис. 17). Эти линии .образуют трубчатую поверхность, называемую силовой трубкой. Рассмотрим произвольное поперечное сечение трубки поверхностью S. Положительную нормаль к S проведем в ту же сторону, в какую направлены силовые линии. Пусть Ф — поток вектора Е через сечение S. Мы утверждаем, что если внутри трубки нет электрических зарядов, то поток Ф остается одним и тем же по всей длине трубки. Для доказательства возьмем другое поперечное сечение трубки S'. Рассмотрим замкнутую поверхность, ограниченную сечениями S и S' и боковой поверхностью трубки. Применим к ней теорему Гаусса. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как на поверхности трубки вектор Е нормален к ней. Поток через основание S численно равен Ф, но противоположен по знаку, так как внешняя нормаль к замкнутой поверхности направлена противоположно п. Напротив, поток через основание S' равен +Ф\ Полный поток через рассматриваемую замкнутую поверхность будет Ф' — Ф. По теореме Гаусса тот же поток равен нулю, так как внутри силовой трубки нет электрических зарядов. Таким образом, Ф' = Ф. В частности, если трубка бесконечно узкая, а сечения S и S' нормальны к ней, то
(5.5)
Рис. 17.
ностью S. Заряды, расположенные во внешнем пространстве по отношению к этой поверхности, на величину потока не влияют. При доказательстве предполагалось, что все заряды точечные. Но это ограничение легко снять, так как всякий заряд можно мыс-
ES = E'S'.
ПРИМЕНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ГАУССА
33
Получается полная аналогия с течением несжимаемой жидкости. В Тех местах, где трубка уже, поле Е сильнее. В тех местах, где она шире,, поле Е слабее. Следовательно, по густоте силовых линий можно судить о напряженности электрического поля (см. §3, пункт 4).
4. Теорема Гаусса есть следствие закона Кулона. Последний по своей форме не отличается от закона всемирного тяготения. Ньютона. И тут и там сила взаимодействия меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому теорема Гаусса справедлива также для гравитационных полей. Роль заряда играет гравитационная масса (умноженная на гравитационную постоянную). Различие состоит только в том, что электрические заряды могут быть и положительными и отрицательными, тогда как гравитационные массы всегда положительны.
§ 6. Применения теоремы Гаусса
Для расчета электрических полей произвольной системы зарядов теоремы Гаусса недостаточно. Это видно уже из того, что теорема Гаусса есть скалярное соотношение. А одного скалярного уравнения мало для определения трех неизвестных — составляющих, Ех, Ец, Е, вектора Е. Необходима известная симметрия задачи, чтобы последняя свелась к решению одного скалярного уравнения. В таких случаях (но и то далеко не всегда) теорема Гаусса может оказаться достаточной для вычисления вектора Е. Приведем примеры.
- 1. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Поверхностная плотность электричества ст на заряженной плоскости, по предположению, постоянна.
Ввиду симметрии вектор Е должен быть
перпендикулярен к этой плоскости. Он направлен от плоскости, если она заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. Ввиду той же симметрии длина вектора Е может зависеть только от расстояния до заряженной плоскости, но не может зависеть от того, по какую сторону от нее находится точка наблюдения. Заметив это, построим цилиндр с основаниями, симметрично расположенными по разные стороны плоскости, и с образующими, перпендикулярными к ней (рис. 18). Если S — площадь каждого из оснований, то поток вектора Е через одно основание будет ES, а через оба основания 2ES. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как на ней векторы Е и п взаимно перпендикулярны. Поток через всю поверхность цилиндра будет
34
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
равен поэтому Ф = 2ES. По теореме Гаусса тот же поток можно представить в виде Ф = 4nq — 4лсг5. Сравнивая оба выражения, находим
? = 2ясг. (6.1)
Такой же результат был получен ранее непосредственно из закона Кулона (см. задачу 2 к § 3).
Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости, таким образом, не зависит от расстояния до нее. Плоскость может считаться бесконечной, если расстояние от нее пренебрежимо мало по сравнению с ее размерами. Только на таких расстояниях Е не зависит от расстояния до плоскости. На больших расстояниях формула (6.1) неприменима — напряженность поля убывает с расстоянием. Если расстояния порядка размеров самой плоскости, то величина и направление поля в пространстве меняются очень сложно. На расстояниях, очень больших по сравнению с размерами плоскости, заряженная плоскость действует как точечный заряд — поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
