Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
26
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Если поле неоднородно, то сила F = + Рг, вообще говоря,
не обращается в нуль. В этом случае F = q {Ег — Et), где и
Ег — напряженности поля в точках ^ нахождения зарядов —q и +7. Для
f2 точечного диполя разность Ег — Et
можно приближенно заменить дифференциалом
,с . дЕ . . дЕ . . дЕ
dE — lx дх +ly-fy+lz-fo'
Pj „у В этом приближении
F=p*™+p>-i+ftf- («)
В целях сокращения письма введем оператор «набла», или оператор Гамильтона (1805—1865):
v=4+4+*?- <4.6>
Скалярным умножением р на у получаем оператор
/-т ^ і д , д
(Р^-Рх-дх+Ридё + Р^дг-
С помощью этого оператора формула (4.5) записывается так;
F=(pV)E. (4.7)
Смысл этой формулы раскрывается при сравнении ее с выражением
(4.5). В частности, если ось X направить вдоль вектора р (/?* = = Р, Ру = Р* = 0). то
F=P%. (4.8)
3. Нейтральная система точечных зарядов, занимающая небольшой объем, в первом приближении ведет себя как точечный диполь. Действительно, разделим мысленно заряды системы на более мелкие части, и притом так, чтобы каждому заряду соответствовал равный заряд противоположного знака. Сгруппировав такие заряды попарно, можно рассматривать нашу систему как систему диполей pt. При вычислении поля на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы, такие диполи mojkho считать точечными. Их можно перенести в одну точку и векторно сложить в один точечный диполь с дипольным моментом р =5>. Так же можно поступать при вычислении сил, действующих на систему зарядов во внешнем электрическом поле Е. Необходимо только, чтобы размеры
системы были настолько малы, чтобы во всех точках занимаемого ею объема внешнее поле Е и его пространственные производные
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
27
дЕ/дх, дЕ/ду, dE/dz могли с достаточной точностью считаться одинаковыми.
Найдем общее выражение для дипольного момента нейтральной системы зарядов. Предполагая сначала, что система указанным выше способом разделена на пары равных зарядов противоположного знака, напишем
P = ?qt U = Е 4t (rt - П) = 2 {qfrf + qirj),
где qf, rf и qi, rj — величины положительных и отрицательных зарядов и их радиусы-векторы соответственно. Теперь можно снова соединить мысленно разделенные заряды и вернуться к первоначальной системе их. Тогда получится
Р='ЕйіП, (4.9)
где суммирование производится уже по всем зарядам первоначальной системы, как положительным, так и отрицательным.
Для электрически нейтральной системы величина суммы (4.9) не зависит от выбора начала координат. Действительно, при переходе к новой (штрихованной) системе координат с другим началом г'{ = rt -\г а, где а — постоянный вектор. Поэтому дипольный момент в новой системе координат будет
р’ = 2 ЧіГі = Е ЯіГі + а 2 qt.
Последнее слагаемое обращается в нуль из-за электрической нейтральности системы, а потому р' =
^^ЧіГі^Р.
ЗАДАЧ И
1. Найти силу взаимодействия F между точечным зарядом q и точечным диполем р, если расстояние между ними равно г и дипольный момент р направлен вдоль соединяющей их прямой.
О т в е т. F = 2qp/r3. Диполь будет притягиваться к заряду, если он обращен к нему противоположно заряженным концом, и отталкиваться в противном случае.
2. Найти силу взаимодействия F двух точечных диполей р1 и р2, дипольные моменты которых направлены вдоль соединяющей их прямой, а расстояние между диполями равно г.
Ответ. F — 6РіРііг*. Диполи притягиваются, если они обращены друг к другу противоположно заряженными концами, и отталкиваются в противном случае.
3. Найти уравнение силовых линии электрического поля точечного диполя в полярной системе координат.
Решение. Разложим вектор р (рис. 11) на составляющую рц вдоль радиуса г и составляющую р^, к нему перпендикулярную. Соответствующие им
Рис. 11.
23 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ [ГЛ. I
поля в точке наблюдения А будут
ЕіГ2Ріґ' ?±——р±/г3-
Угол р между радиусом г и электрической силовой линией определится формулой
tg Р = —Р±!(2р|,) = (I /2) tg*.
Проекция бесконечно малого участка силовой линии на направление вектора р | может быть, с одной стороны, представлена как dr tg (і = (dr/2) tg ft, с другой стороны, как г tib. Поэтому
(dr/2) tg ¦& = /¦ db.
Интегрируя это уравнение, получаем искомое уравнение электрической силовой линии:
r = r0 sin2 д.
Постоянная г0 имеет смысл длины радиуса-вектора г в экваториальной плоскости, т. е. при Ф = я/2.
4. Возможны ли круговые движения с постоянной скоростью точечного электрического заряда вокруг неподвижного точечного электрического диполя?
Ответ. Да, возможны, и притом на любом расстоянии заряда от диполя. Плоскость круговой орбиты заряда перпендикулярна к оси диполя. Угол а между направлением дипольного момента и радиусом-вектором, проведенным от диполя к движущемуся заряду, определяется выражением cosa = ~Т- У"1/3, где минус относится к положительному заряду, а плюс — к отрицательному.
§ 5. Поток вектора и электростатическая теорема Гаусса
1. Понятие потока вектора является одним из важнейших понятий векторного анализа. Оно используется при формулировке важнейших свойств электрического, магнитного и других векторных полей. Первоначально это понятие было введено в гидродинамике. Возьмем в поле скоростей жидкости малую площадку S, перпендикулярную к вектору скорости жидкости V (рис. 12). Объем ЖИДКОСТИ,
