Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим еще, что по разные стороны плоскости векторы Е одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Поэтому при переходе через заряженную плоскость напряженность электрического поля меняется скачком на величину 4ясг.
2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскопараллельной пластинки. Пусть 2 а — толщина пластинки, ар — объемная плотность электричества внутри пластинки. По предположению величина р постоянна. Начало координат О поместим в средней плоскости пластинки, а ось X направим перпендикулярно к ней (рис. 19). Рассуждая, как в предыдущей задаче, найдем
{ 4лрх внутри пластинки, \ 4яра
вне пластинки.
(6.2)
Будем беспредельно уменьшать толщину пластинки, одновременно увеличивая плотность электричества р, чтобы величина ра оставалась постоянной. В пределе получится бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью электричества а = ра, а формула (6.2) перейдет в ранее полученную формулу (6.1).
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГАУССА
35
3. Поле шара, равномерно заряженного по поверхности и объему. Ввиду шаровой симметрии вектор Е параллелен или антипараллелен радиусу-вектору г, проведенному из центра шара в точку наблюдения, а его длина Е может зависеть только от расстояния г. Заметив это, проведем вне шара концентрическую с ним сферу S радиуса г (рис. 20, а). Поток вектора Е через эту сферу 4лг2Е по теореме Гаусса равен 4nq, а потому для напряженности поля вне шара получаем
Е = 9/г2,
(6.3)
&
независимо от того, заряжен ли шар по объему или по поверхности. Таким образом, равномерно заряженный шар создает во внешнем, пространстве такое поле, как . .
если бы весь заряд был сосре-доточен в его центре. Этот результат остается справедливым при любом сферически симметричном распределении заряда по объему шара. Разумеется, он верен и для поля тяготения.
Когда радиус шара пренебрежимо мал по сравнению с расстоянием г, мы получаем кулоново поле точечного
заряда. Нельзя, однако, сказать, что закон Кулона является следствием теоремы Гаусса. Он получается из нее при дополнительном предположении, что поле неподвижного точечного заряда радиально и обладает шаровой симметрией.
Совершенно так же вычисляется поле внутри шара (рис. 20, б). Оно определяется выражением
E = q'lr\ (6.4)
где q' — заряд, ограниченный сферой радиуса г. Если заряд равномерно распределен по объему шара, то q’ = q (г/а)3. В этом случае
Рис. 20.
Е = qr/a3 == (4л/3) рл
(6.5)
Если же заряд равномерно распределен по поверхности шара, то q' = 0, а потому также Е = 0. Таким образом, электрическое поле внутри сферической полости, равномерно заряженной по поверхности, равно нулю. Результат остается справедливым и для случая, когда внутри сферической полости зарядов нет, а внешние заряды распределены сферически симметрично.
4. Уясним последний результат непосредственно с помощью закона Кулона. Пусть поверхность сферы равномерно заряжена
зе
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
(ГЛ. I
электричеством. Через произвольную точку А окружаемой - ею полости проведем пучок лучей, вырезающий из сферы бесконечно малые площадки sx и s2 (рис. 21). Проекции этих площадок на Носкость, перпендикулярную к оси пучка, si и Sa пропорциональны, квадратам расстояний гх и г2. То же справедливо для самих площадок и s2 и находящихся на них зарядов и q2. Действительно, если через ось пучка и центр сферы О провести плоскость (плоскость рисунка), то углы at и а2 будут равны между собой и, кроме того, s{ = s1sina1, s2 = s2sina2. Отсюда и следует наше утверждение., Из него получаем qjrl — qjrl. Значит, кулоновы электрические поля, возбуждаемые в точке А зарядами ^ и q2, равны по величине:
и противоположны по направлению. Эта! справедливо для каждой пары зарядов типа Рг и q2, на которые можно мысленно разбить всю поверхность заряженной сферы. Поэтому полное электрическое ноле должно обращаться в нуль в каждой точке сферической ПОЛОСТИ. V
Мы видим, что теорема об отсутствие электрического поля внутри сферической полости, равномерно заряженной по ее по.-? верхности, является следствием закона Кулона. — обратной пропорциональности на-' пряженности поля квадрату расстояния. Если бы поле менялось с расстоянием иначе,, то теорема была бы неверна. Поэтому, как заметил Пристли (1733—1804), экспериментальна^ проверка этой теоремы может служить подтверждением самого закона Кулона. Такая косвенная проверка может быть выполнена с гораздо большей точностью, чем прямое измерение сил взаимодействия точечных зарядов. Впервые она была произведена в 1774 г. Кавендишем, а затем с большей точностью повторена Максвеллом в 1879 г. Кавендиш и Максвелл представили результаты своих измерений в следующей форме. Если принять, что сила взаимодействия точечных зарядов F ~ 1 /гп, то п может отличаться от 2 по измерениям Кавендиша не более чем на 1/50, а по измерениям Максвелла — не более чем на 1/20 ООО. Опыт с современными средствами измерений был повторен Плимптоном и Лаутоном в 1936 г. Они нашли, что п может отличаться от 2 не более чем на ЮЛ Конечно, зависимость типа F ~ \!гп может и не соблюдаться. Реальная проблема состоит в нахождении расстояний, с которых начинает нарушаться закон Кулона, а также в установлении истинного закона сил, которым следует заменить закон Кулона на таких расстояниях. В настоящее время закон Кулона подтвержден до расстояний сантиметра или десятков сантиметров с относительной точностью порядка 10-9.
