Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 12.
протекающей через эту площадку за время dt, равен vS dt. Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объем будет vS cos a dt, где a — угол между вектором скорости v и нормалью п к площадке S. Объем жидкости, протекающей через площадку S в единицу времени, получится делением этого выражения на dt. Он равен vS cos а, т. е. скалярному произведению (vS) вектора скорости v на вектор площадки 5 = Sn. Единичный вектор п нормали к площадке S можно провести в двух прямо протнвополож-
электростатическая теорема гаусса
29
ных направлениях. Одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль п. Та сторона площадки, из которой исходит нормаль я, называется внешней, а та, в которую нормаль п входит, — внутренней. Если поверхность S не бесконечно мала, то при вычислении объема протекающей жидкости ее надо разбить на бесконечно малые площадки dS, а затем вычислить интеграл § (v dS) по всей поверхности S.
Выражения типа (vdS) или jj (vdS) встречаются в самых разнообразных вопросах физики и математики. Эти выражения имеют смысл независимо от конкретной физической природы вектора V. Они называются потоком вектора v через бесконечно малую площадку dS или конечную поверхность 5 соответственно. Так, интеграл Ф — ^EdS называют потоком вектора напряженности электрического поля Е, хотя с этим понятием и не связано никакое реальное течение.
Допустим, что вектор Е представляется геометрической суммой
Умножив это соотношение скалярно на dS и проинтегрировав, получим
Ф = 2Ф‘-. (5.1)
где Фь Ф2, ... —потоки векторов Еи Е2, ... через ту же самую поверхность. Таким образом, из того факта, что векторы складываются геометрически, следует, что их потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.
2. Перейдем теперь к доказательству важнейшей теоремы электростатики — теоремы Гаусса. Она определяет поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S. За положительную нормаль к поверхности S
примем внешнюю нормаль, т. е. нормаль, направленную наружу
(рис. 13). Предположим сначала, что электрическое поле создается единственным точечным зарядом q. На поверхности 5 поле определяется выражением
E = qr/r3. (5.2)
Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность S является сферой, а точечный заряд q помещен в ее центре. Поток вектора Е через элементарную площадку сферы равен
dO = (En)dS=*qdS/r*, ~
а поток через всю сферу Ф = qS/r2. Так как поверхность сферы S равна 4лг2, то
Ф = 4я</. (5.3)
зо
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Покажем теперь, что результат (5.3) не зависит от формы поверхности S, окружающей заряд q. Возьмем произвольную элементарную площадку dS с установленным на ней положительным
направлением нормали п (рис. 14). Поток вектора Е через эту площадку будет
(/ф = (Еп) dS — EdS cos а = Е dSr,
где dSr — проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную к радиусу г. Используя выражение (5.2), получим
d<$> = q dSr/r2.
Величина dSr/r2 есть телесный угол dQ, под которым из точки нахождения заряда q видна площадка dSr, а следовательно, и площадка dS. Условимся считать его положительным, если площадка dS обращена к q внутренней стороной, и отрицательным в противоположном случае. Тогда
d<& = qdQ.
Поток Ф через произвольную (вообще говоря, незамкнутую) конечную поверхность S найдется интегрированием этого выражения по dQ. Так как заряд q не зависит от положения площадки dS, то Ф — q^dQ, или
Ф =q&, (5.4)
где Q — телесный угол, под которым из точки нахождения заряда q видна поверхность S.
Если поверхность S замкнутая, то следует различать два случая.
Рис. 14.
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА
31
Случай 1. Заряд q лежит внутри пространства, окруженного поверхностью S (рис. 15, а). В этом случае телесный угол ?2 охватывает всё направления в пространстве, т. е. равен 4я, а потому формула (5.4) переходит в (5.3). Не имеет значения, сколько раз прямая, исходящая из q, пересекает поверхность S. Допустим,
а)
Рис. 15.
например, что пересечение происходит три раза (рис. 15, б). Абсолютные значения телесных углов, под которыми видны элементарные площадки dSu dS2, dS3, одинаковы. Однако площадка dS3 обращена к q внутренней, a — внешней сторонами. Сумма телесных углов, под которыми видны эти две площадки, равна нулю. Остается только телесный угол dil, под которым видна площадка dS1. И так будет всегда, когда число пересечений нечетное, т. е. в тех случаях, когда поверхность S окружает заряд q. Нечетное число пересечений при вычислении потока сводится к одному пересечению.
Случай 2. Заряд q лежит вне пространства, окруженного поверхностью S (рис. 16). В этом случае прямая, исходящая из заряда q, либо совсем не пересекает замкнутую поверхность S, либо пересекает ее четное число раз. Поэтому полный телесный угол й, а с ним и поток Ф равны нулю.
Случай, когда точечный заряд q лежит точно на поверхности 5, физического смысла не имеет. Точечный заряд есть идеализация, пользоваться которой допустимо только в тех случаях, когда линейные размеры заряженного тела малы по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается поле этого тела. Если же заряд лежит
