Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
л Л 2 п 7a- ft 2 >2 7q2
<49Л2>
Тем самым задача в нулевом приближении сведена к задаче нахождения собственных функций и собственных значений одноэлектронного водородоподобного атома. Решение последней задачи хорошо известно.
Б. Найдем прежде всего в нулевом приближении энергию полной ионизации нейтрального атома гелия, т. е. работу по
316
АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
1ГЛ. VI
удалению в бесконечность обоих его электронов, когда сам атом находится в основном состоянии. Работа по удалению электрона в бесконечность из атома водорода в основном состоянии равна це4/2й2 « 13,539 эВ. Для однократно ионизованного гелиеподобного атома эта работа в Z2 раз больше (см. формулу (13 12)). Поэтому, согласно формуле (49.11), работа по удалению обоих электронов гелиеподобного атома в бесконечность в нулевом приближении будет
КоШЗ = 2Z2 • це4/2Й2. ' (49.13)
Результат этот вполне очевиден, поскольку в нулевом приближении взаимодействие электронов не учитывается. В частности, для атома гелия формула (49.13) дает й’иониз = 108,3 эВ.
Зная волновую функцию (49.9) в нулевом приближении, можно по формуле (49.7), в которой следует положить U= = е2/гі2, найти поправку к энергии полной ионизации гелиеподобного атома, которую дает первое приближение. Вычисления приводят к результату
(^° + <nnoHH3==(2Z2-4z)|?- (49.14)
Численные результаты приведены в табл. 5. В нулевом приближении, как и следовало ожидать, получается большое различие
Таблица 5
Энергия полной ионизация, зВ
Атом Вычислено
или ион
Наблюдено
в нулевом в первом
приближении приближении но диллераасу
Не 78,98 108,3 74,46 78,98
Li+ 198,04 243,7 192,9 198,03
Be2* 371,51 433,2 365,5 371,49
В3+ 599,43 676,9 592,3 599,40
си 881,83 - 974,8 873,3 881,82
между вычислением и опытом: ошибка составляет примерно 40 % Для Не и 10 % для С4+ Но уже в первом приближении получается хорошее согласие теории с опытом. Это тем более удивительно, что энергия взаимодействия между электронами отнюдь не мала по сравнению с энергией их взаимодействия с атомными ядрами. Многие авторы вычисляли в высших приближениях энергии ионизации и возбуждения атома гелия, а также разработали более совершенные методы, отличные от теории возмущений. Не имея возможности останавливаться на этих вопросах, приводим d последнем столбце таблицы результаты рас-
§ 49]
АТОМ ГЕЛИЯ
317
четов Хиллерааса (1898—1965), полученные без учета конечности масс ядер и поправок на теорию относительности. Согласие с опытом изумительно хорошее.
6. Обратимся теперь к объяснению, почему в спектрах гелия и гелиеподобных ионов происходит удвоение спектральных серий, о котором говорилось в начале этого параграфа. Заметим прежде всего, что все серии получаются путем возбуждения одного электрона, а не обоих электронов сразу. Последний процесс значительно менее вероятен, чем первый, и рассматриваться не будет. Поэтому рассмотрим в нулевом приближении такое состояние атома, когда один электрон не возбужден, а другой находится в возбужденном состоянии. Состояние первого электрона в нулевом приближении описывается волновой функцией ¦ф®(1), а второго — функцией ^ (2). Нижний индекс означает совокупность трех квантовых чисел (п, I, mi), характеризующих состояние электрона. В частности, нижнему индексу 1 соответствует нормальное (невозбужденное) состояние (п = 1, 1 = 0, mt = 0). От наличия спина электрона мы временно отвлекаемся.
Волновая функция обоих электронов в нулевом приближении представится произведением ^(1)^(2). Однако такая функция не удовлетворяет требованию тождественности одинаковых частиц (электронов). Если в ней поменять местами первый и второй электроны, то получится функция tyl (1) г|)“ (2), описывающая то же состояние атома: имеет место обменное вырождение (см. § 46). Линейной суперпозицией обоих квантовых состояний получается множество мыслимых состояний одной и той же энергии. Из них из-за тождественности электронов могут реализоваться только состояния, описываемые симметричными и атт-тисимметричными волновыми функциями
оро (1, 2) = (1) (2) + фО (1) (2),
(49.15)
гр0(1, 2)==-фО(1)г1;0 (2) —гро (1)-ф0(2).
[Симметрия и антисимметрия функций (49.15) относится к операции, в которой электроны обмениваются своими местами, т. е. аргументами в волновой функции, причем «место» характеризуется значениями только пространственных координат: спиновые координаты во внимание не принимаются. Между тем принцип антисимметрии волновых функций, которому должны подчиняться электроны, имеет в виду полные волновые функции, т. е. функции, зависящие не только от пространственных, но и от спиновых координат электронов. Здесь «место» электрона в волновой функции определяется не тремя, а четырьмя координатами. Поэтому обе неполные, т. е. пространственные функции (49.15), поскольку они удовлетворяют требованию
318
АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[ГЛ. VI
неразличимости тождественных частиц, допустимы при квантовом описании состояния атома. Это утверждение содержится также в первоначальной упрощенной формулировке принципа Паули. Последний исключает такие состояния атома, в которых оба электрона имеют одинаковые четверки квантовых чисел п, I, т(, ms, но не запрещает, чтобы у электронов были одинаковыми три квантовых числа при различии четвертых. В частности, возможны состояния, у которых k=\, когда оба электрона находятся в основном состоянии, которое характеризуется значениями квантовых чисел п = 1, 1 = 0, mi = 0. Для такого состояния, понятно, из двух возможных функций (49.15) надо взять только симметричную, так как антисимметричная тождественно обращается в нуль В этом случае обменное вырождение отсутствует, а потому основному состоянию соответствует только одна волновая функция и один уровень энергии]
