Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Через г\ (л:і, уи z\), Гї (х2, у2, z2) обозначены радиусы-векторы и декартовы координаты первого и второго электронов, а через ґ 12 — расстояние между ними. Заряд ядра для общности принят равным Z (в случае гелия Z = 2). Ядро атома в рассматриваемом приближении считается неподвижным и принимается за начало координат.
3. Сформулированная задача аналогична классической задаче трех тел, рассматриваемой в небесной механике. В ней речь идет о движении двух планет в гравитационном поле Солнца с учетом гравитационного взаимодействия между самими планетами. Такая задача, хотя в принципе и допускает аналитическое решение в виде рядов, но эти ряды абсолютно непригодны для практических расчетов (см. подстрочное примечание к § 16 на стр. 91). Но в небесной механике разработаны превосходные приближенные методы расчета, вполне удовлетворяющие высоким требованиям наблюдательной астрономии. В их основе лежит теория возмущений, использующая тот факт, что взаимодействие между планетами мало по сравнению с взаимодействием каждой планеты с Солнцем. В нулевом приближении взаимодействием между планетами можно совсем пренебречь. Используя решение, полученное в нулевом приближении, можно затем учесть взаимодействие между планетами в первом приближении, после этого найти второе приближение и т. д. По тому же пути идет и теория возмущений квантовой механики в случае атома с двумя электронами. Она также в нулевом приближении отбрасывает взаимодействие между электронами. Правда, здесь ситуация значительно менее благоприятна, чем в небесной механике, так как взаимодействие между электронами отнюдь не мало по сравнению с взаимодействием каждого из них с атомным ядром. Однако получающиеся результаты
3!4
АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ [ГЛ. VI
довольно удовлетворительны, чем и оправдывается использование методов теории возмущений.
Трудность задачи об атоме гелия обусловлена наличием в уравнении (49.1) члена ??і2і|з, зависящего от координат обоих электронов. Благодаря этому уравнение (49.1) не имеет решений с разделяющимися переменными. В теории возмущений член Оі2ф рассматривается как «малая» поправка и в нулевом приближении отбрасывается. Таким образом, уравнение нулевого приближения имеет вид
ЯЧ0 = «ГЧ0- (49.5)
где через Й° обозначен гамильтониан в нулевом приближении, т. е. оператор Й° = Я] + #2, в котором возмущающий член 0V2 отброшен. Аналогично, через if>° и Ж0 обозначены волновая функция и собственное значение энергии в нулевом приближении. Найдя величины if>° и Ж0, ищем решение в первом приближении i|) =» if0 + гр1, <8 = Ж0 + S’1. Для этого служит уравнение
(Н° + 0Ы) № + V) = (#° + <Г) (Ф° + V),
или на основании (49.5)
/?Ч' + ?/12ф° + Ul2$l = #4° + + #Ч>‘-
Здесь величины и следует рассматривать как «ма-
лые» более высокого порядка и в первом приближении отбросить. Таким образом, в первом приближении
(Я0 - ГН1 = (S’1 - &ц)Ф°. (49.6)
Это — неоднородное уравнение, правая часть которого известна. Можно весьма просто доказать (на чем мы не останавливаемся), что уравнение (49.6) имеет решение только при таких значениях параметра Sx, когда правая часть ортогональна к волновой функции г|з° нулевого приближения, т. е.
(?i _&12)^т„0>
причем интегрирование производится по шестимерному объему dx ** dx\ dyi dz\ dx%dy2dz2 обоих электронов. Таким образом, если функция tJ>° нормирована к единице, то получается
S' — ^°*C/i2V dt, (49.7)
т. е. поправка «У1 к энергии в первом приближении равна потенциальной энергии U12 взаимодействия электронов, усредненной с помощью волновых функций нулевого приближения. Вычислив можно затем решить уравнение (49.6) и найти г|)], на чем мы не останавливаемся.
АТОМ ГЕЛИЯ
315
Аналогичным путем можно найти второе приближение 8 —
— 8° 81 -f- 82, т|з = і|з° 'Ф1 + 11)2> рассматривая поправки 82
и \|з2 как величины еще более высокого порядка малости, и т.д.
4. Обратимся теперь к уравнению (49.5), т. е. к решению в нулевом приближении. В более подробной записи это уравнение гласит
(Я, + Я2) г|)0 = <ГЧ°, (49.8)
где оператор зависит только от координат первого электрона, а оператор /?2— только от координат второго. Поэтому решение г|)° будет решением с разделяющимися переменными:
г|)° = г|)° (1) -ф0 (2), (49.9)
где цифрой 1 обозначена совокупность координат первого, а
цифрой 2 — второго электронов. После подстановки в преды-
дущее уравнение и деления на г|з° = "ф0 (1)г|з°(2) получится
(1) , Ягф° (2) _ ар0 Т|)°(1) "1 т|>°(2) '
Первое слагаемое в левой части зависит только от координат I, а второе — только от координат 2. Так как сумма этих слагаемых 8й постоянна, то должно быть постоянно и каждое из слагаемых в отдельности. Иными словами, должны выполняться уравнения
Я1'ф°(1) = ^?'Ф°(1), Я2г)>0 (2) == <^“(2), (49.10)
где 8\ и 8\ — постоянные, удовлетворяющие условию
8\ + 8% = 8й. (49.11)
Оба уравнения (49.10) по существу тождественны. Они отличаются друг от друга только обозначениями координат первого и второго электронов, а также численными значениями постоянных к Зі (поскольку электроны могут находиться в различных состояниях; если же эти состояния одинаковы, то 8\} = 8'^. Каждое из уравнений (49.10) описывает стационарное состояние электрона в поле ядра в предположении, что взаимодействие между электронами не учитывается. В этом предположении
