Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Формулы (105.12) и решают задачу о преобразовании координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Они называются преобразованием Лорентца (этот термин был введен Пуанкаре). Лорентц получил их в 1904 г. К тем же формулам несколько раньше (в 1900 г.) пришел Лармор. И Лармор, и Лорентц, однако, принципиально стояли на точке зрения неподвижного эфира. У них истинным было только время t в системе отсчета, в которой эфир покоится. Величина же t' лишь формально играла роль времени — это была математическая переменная, вводимая таким образом, чтобы соблюдалась инвариантность уравнений электродинамики при переходе от переменных X, у, г, t к переменным х', у', г', f. Настоящий вывод формул преобразования Лорентца и установление их истинного смысла дал Эйнштейн в 1905 г. В его теории все инерциальные системы отсчету совершенно экви- 640
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IX '
валентны, а ? является таким же «истинным временем», как . и t. Это проявляется, в частности, если уравнения (105.12) разрешить относительно X1 у, z, t. Таким путем получатся формулы «обратного преобразования»
X'+ Vt , , , Г+ Vx'Iei ¦ /1Г.С ...
X= - г —, у = у, z = z , t= }_L-, (105.14)
/l-?2 Ki-?2
имеющие тот же вид, что и формулы «прямого преобразования» (105.12). Как и следовало ожидать, они получаются из формул (105.12) простой заменой V на —V.
Формулы (105.12) и (105.14) при ? > 1 дали бы мнимые значения для координат и времени. Поэтому нет смысла говорить о движении одной системы отсчета со скоростью V, превышающей скорость света с. Отсюда следует, что скорость любого тела не может превышать с, так как с каждым телом можно связать систему отсчета.
При медленных движениях, когда (Vlcf 1 и Vvlc2 1 (v — скорость движения тела)-, преобразование Лорентца, как и следовало ожидать, в пределе переходит в преобразование Галилея.
4. В дорелятивистской физике пространство и время считались независимыми друг от друга. Расстояния между двумя пространственными точками (точнее, расстояния между двумя материальными точками в один и тот же момент времени), а также промежутки времени между двумя событиями считались одинаковыми во всех системах отсчета. Иными словами, обе эти величины считались инвариантными при переходе от одной системы отсчета к другой. В теории относительности такая инвариантность была утрачена. Вместо двух инвариантов — пространственного и временного — в ней сохранился только один, пространственно-временной, инвариант. Его легко найти, перемножая-почленно уравнения (105.11). Это дает
с2/2-x2 = c2/'2-x'2 = Inv. (105.15)
Для удобства запишем этот инвариант через новые временные переменные
т = ct, x'=ct', (105.16)
имеющие размерность длины. Введение таких переменных означает, что промежутки времени теперь измеряются теми же единицами, что и пространственные расстояния: за единицу времени принимается время, в течение которого свет проходит единицу расстояния. В "новых переменных
(10[j.l7) § 105] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА 641
Учтем теперь, что при выбранной нами ориентации координатных осей у' = у, z' = z. Поэтому
т2 -(л:2 + у2 + г2) = т'2-(л;'2 + г/'2 + г'2) = Inv. (105.18)
В этом виде пространственно-временной инвариант (105.18) уже не зависит от ориентации систем отсчета 5 и S' относительно друг друга, а также от направления скорости V. Однако в формуле (105.18) предполагается, что одно из событий фиксировано. Таким событием является совмещение начал координат О и О'. Чтобы освободиться от этого ограничения, запишем (105.18) в виде
А х2 - (А х2 + А у2 + A z2) = А т'2 - (А х'2 + А у'2 + А г'2) = Inv,
(105.19)
где At, Дх, ..., At', Ax', я. означают разности между временами и пространственными координатами двух событий 1 и 2 в системах отсчета S и S':
Ax = t2-t1, A^ = x2-x1, A у = у2-уъ A z = z2-z1,
Axf=t2-t1', Ax' =Xfi-Xi, A y'=y'i — y[, Az' = z2 — z[.
Квадратный корень из инварианта (105.19) называется интервалом между рассматриваемыми событиями и в дальнейшем обозначается через s12 или As. Очевидно, квадрат интервала между событиями 1 и 2 можно представить в виде
Sf3 = (x2 - x1)2 - Il, = (х5 - x1')2 - 1'А, (105.20)
где I12 и V12 — расстояния между точками, в которых произошли события, в системах 5 и S' соответственно.
Можно 'также в формулы преобразования Лорентца ввести параметры хит' вместо tut'. Ограничиваясь частным случаем, представленным на рис. 328, перепишем формулы (105.12) в виде
*'=7ї=|г' T'=yr=F (105-21>
Величина ? имеет смысл скорости движущейся системы координат, если за единицу принять скорость света.
Минковский (1864—1909) для описания пространственно-временных событий ввел геометрическую терминологию. Совокупность значений т, X, у, z, характеризующую время и место события, он назвал мировой точкой. Многообразие мировых точек есть четырехмерное пространство, называемое миром или пространством Минковского. Линия в пространстве Мннковского называется мировой линией. Интервал между двумя событиями принимается за инвариантное расстояние между соответствующими мировыми точками. На основе таких представлений было создано тензорное исчисление в пространстве Минковского, аналогичное тензорному 642
