Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IX '
исчислению обычной эвклидовой геометрии. Оно является адекватным математическим аппаратом специальной теории относительности.
5. Интервалы между событиями можно разделить на вещественные и чисто мнимые. Ввиду инвариантности интервала, это деление не зависит от выбора системы отсчета.
Поставим вопрос, можно ли выбрать такую систему отсчета, в которой события 1 и 2 были бы одноместны, т. е. происходили бы в одной и той же точке пространства? Если S' — такая система, то в ней l'n = 0, и на основании (105.20) квадрат интервала может быть представлен в виде S312 = (%{— t1')2. Отсюда видно, что s;2 >0, т. е. необходимо, чтобы интервал s12 был вещественным. Для доказательства достаточности этого условия можно без нарушения общности ограничиться частным преобразованием Лорентца (105.21). Чтобы рассматриваемые события в системе S' пространственно совпадали, достаточно, чтобы выполнялось условие Ax' = 0, т. е. Ax = ? At. Отсюда видно, что система S' должна двигаться со скоростью ? =-• AxtАх. Но для вещественных интервалов \ Ax \ <. Ах, так что I ? |< 1. Значит, система 5'должна двигаться со скоростью, меньшей скорости света, а потому ее можно реализовать. Промежуток времени между одноместными событиями в системе отсчета S' будет равен at' = | s12 |, или в обычных единицах~А^' = | s12 !/с. Вещественные интервалы называются времениподобными.
Поставим теперь вопрос о существовании системы отсчета, в которой события 1 и 2 были бы одновременны. Если S' — такая система, то xri — t1' = 0 и, следовательно, на основании (105.20) должно быть s|2 = —Значит, необходимо, чтобы интервал s1!t был "чисто мнимым. Достаточность этого условия доказывается совершенно так же, как в предыдущем случае. Расстояние между точками, в которых произошли одновременные события 1 и 2, в системе S' равно l'l2 = I s12 |. Чисто мнимые интервалы называются пространственноподобными.
Рассмотрим, наконец, особый случай, когда интервал между событиями равен нулю. В этом случае, чтобы сделать события одноместными, надо перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью света. То же требуется, чтобы события стали одновременными. И то и другое невозможно. Нулевые интервалы называются световыми. Такими интервалами связаны отправление светового сигнала из некоторой точки и приход его в другую точку пространства.
6. В случае частного преобразования Лорентца (105.21), соответствующего рис. 328, все изложенное можно наглядно интерпретировать графически. Это возможно потому, что достаточно ограничиться рассмотрением преобразования только одной пространственной координаты X и времени т, т. е. рассуждать так, как если бы пространство Минковского было двумерной плоскостью (х, т). Произвольное событие (мировую точку) О в этой плоскости примем § 105]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА
643
за начало прямоугольной системы координат (рис. 332). Проведем через О взаимно, перпендикулярные оси, одну из которых примем за пространственную ось х, а другую — за временную ось т в системе отсчета S. Пунктирные прямые т = х и т = —х будут мировыми линиями световых сигналов, распространяющихся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси X. Пусть А — произвольное событие. Соединим точки AuO прямой мировой линией т = X tg а, описывающей равномерное движение какого-то тела вдоль оси X со скоростью ?. Если ? < 1, то с этим телом можно связать систему отсчета S', а прямую OA принять за пространственную ось X'. Ось времени т' найдется из условия, что на ней х' = 0. Как видно из (105.21), это будет мировая линия х = ?t, т. е. прямая OB, наклоненная под тем же углом а = arctg ?, но уже к временной
оси т. В новой системе отсчета события OuA будут одновременными, но не одноместными. События же О и В одноместны, но не одновременны.
Вообще, все события по отношению к событию О можно разделить на абсолютно удаленные и абсолютно неодновременные (т. е. абсолютно прошедшие и абсолютно будущие), как это показано на рис. 333. Для первых интервал между событиями чисто мнимый, для вторых — вещественный. Границей между такими событиями служат пунктирные мировые линии световых сигналов, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях пространственной оси. В четырехмерном пространстве Минковского такой границей будет трехмерное многообразие, а именно конус tj — д* — у2 — z2 = 0, осью которого является ось времени т. Он называется световым конусом.
Причинно связанными могут быть только события, интервал между которыми времениподобный. Например, событие О (рис. 332) могло бы быть причиной события В, так как в любой системе отсчета событие В наступает позже события О. Но события не могут быть
t
Рис. 332.
Рис. 333. 644
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IX '
причинно связанными, когда интервал между ними пространствен-ноподобный. Таковы, например, события О и А (рис. 332). В неподвижной системе отсчета 5 событие А происходит позже события О. В штрихованной системе (х', х') оба эти события одновременны. Если же взять систему отсчета, движущуюся быстрее системы (х', т'), но все еще медленнее света, то ее пространственная ось будет на рис. 332 наклонена круче оси X'. В такой системе отсчета событие А произойдет раньше события О. Таким образом, нельзя удовлетворить требованию, чтобы в любой системе отсчета «причина» предшествовала «следствию». Это и доказывает наше утверждение.
