Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Тепло, полученное газом при адиабатическом расширении или сжатии, равно нулю. Работа, совершенная газом, A — Р2ДУ, поэтому Д{/ + + Р2ДУ = 0. Так как U = СуТ, то отсюда находим
2. В предыдущей задаче после того как установилось состояние равновесия, давление газа снова меняют скачкообразно до первоначального значения Pt. Вычислить окончательную температуру Ts и окончательный объем газа V3, когда он опять придет в состояние термодинамического равновесия.
ЗАДАЧИ
Следовательно,
или
(29.1)
(29.2)
ІДИКЛ КАРНО И ТЕОРЕМА КАРНО
67
Решение. Используя решение предыдущей задачи, находим
CVT2 + P1V,
1’
(29.3)
С помощью уравнения Клапейрона PV = RT и соотношения Роберта Майера Ср — Су = R выражение для 7’3 нетрудно преобразовать к виду
Cv I \IP.-P,)*
Г, = Ту 4- ----i-^-Ё----—
Ср
(29.4)
Отекла видно, что в результате обоих адиабатических процессов температура, а с пей и объем газа всегда возрастают. Если давление меняется бесконечно мало, то из (29.4) следует, что температура и объем меняются на бесконечно малые величины второго порядка. В первом порядке они остаются неизменными. Отсюда следует, что если адиабатически расширять газ, последовательно снимая с поршня бесконечно малые грузы, а затем снова положить эти грузы на поршень в обратном порядке, то температура и объем газа в конечном состоянии будут отличаться от их значений в исходном состоянии бесконечно мало. В пределе, когда величины последовательно снимаемых грузов стремятся к нулю, а их число к бесконечности, газ совершит конечный процесс, пройдя при сжатии в обратном порядке через ту же последовательность равновесных состояний, через которые он проходил при расширении.
§ 30. Цикл Карно и теорема Карно
1. Из различных круговых процессов особое значение в термодинамике имеет круговой процесс или цикл Карно. Это квазистатический процесс, в котором систему можно приводить в тепловой контакт с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные температуры 7\ и Т2. В дальнейшем предполагается, что 7\ > Т2.
Тепловой резервуар с более высокой температурой 7’, называется нагревателем, а с более низкой температурой Т2 — холодильником.
Цикл Карно заключается в следующем. Сначала система, имея температуру Тъ приводится в тепловой контакт с нагревателем.
Затем, бесконечно медленно уменьшая внешнее давление, ее заставляют квазистатически расширяться по изотерме 12 (рис. 25). При
этом она заимствует тепло Q, от нагревателя п производит работу Л12 против внешнего давления. После этого систему адиабатически изолируют и заставляют квазистатически расширяться по адиабате 23, пока ее температура не достигнет температуры холодильника Т.,. При адиабатическом расширении система также совершает некоторую работу AiS против внешнего давления. В состоянии 3 систему при-
98
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. III
водят в тепловой контакт с холодильником и непрерывным увеличением давления изотермически сжимают ее до некоторого состояния 4. При этом над системой производится работа (т. е. сама система совершает отрицательную работу Л34), и она отдает холодильнику некоторое количество тепла Q2. Состояние 4 выбирается так, чтобы можно было квазистатическим сжатием по адиабате 41 вернуть систему в исходное состояние 1. Для этого надо, разумеется, над системой совершить работу (т. е. сама система должна произвести отрицательную работу Л.и). В результате кругового процесса Карно внутренняя энергия системы не изменится, а потому произведенная ею работа равна А =Л12 -+- Л23 + Л31 + Ап = Qi — Q2. Коэффициент полезного действия її цикла Карно определяется соотношением (28.4), из которого следует
Q2 = (1-t1)Q1. (30.1)
2. Докажем знаменитую теорему Карно: коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур 7\ и Т2 нагревателя и холодильника, но не зависит от устройства машины, а также от вида используемого рабочего вещгства.
Для доказательства рассмотрим две машины Карно, имеющие общий нагреватель при температуре 7\ и общий холодильник при температуре Т2. Пусть к. п. д. первой машины равен rj, а второй ц'. Допустим, что т} > г\', и покажем, что это допущение приводит к противоречию с постулатом второго начала термодинамики. Цикл Карно — квазистатический, а потому он может совершаться как в прямом, так и в обратном направлении. Заставим первую машину пройти цикл в прямом направлении, т. е. производить работу. Пусть в результате m циклов она отберет от нагревателя тепло Qu передаст холодильнику тепло Q2 и произведет работу Л = — Q2,
например, поднимет груз. Остановим после этого первую машину и используем потенциальную энергию поднятого груза, чтобы привести в действие вторую машину в обратном направлении. Вторая машина Карно будет, следовательно, работать как холодильная машина. Пусть в результате ш' циклов она заберет тепло Q2 от холодильника и передаст тепло Q! нагревателю; при этом над машиной будет совершена работа Л' = — Q'2. Результат действия
m циклов первой и ш' циклов второй машины представится следующей схемой:
