Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
нагреватель отдал тепло (Q, — Q[); холодильник отдал тепло (Q? — Qa); машина совершила работу Л — Л' =
= (Qi - Qa) - (Qi - Qd =TiQi - Ti'QI. Дальнейший ход доказательства зависит от того, какой постулат второго начала термодинамики положить в основу: постулат Том-
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ШКАЛА ТЕМПЕРАТУР
99
сона — Планка или постулат Клаузиуса. Если исходить из постулата Томсона — Планка, то доказательство следует вести так. Выберем целые числа т и т! так, чтобы — Q\ — 0. Этого всегда можно достигнуть. Действительно, Q, = mqu Q\ = m'q[, где q{ — количество тепла, полученное первой машиной от нагревателя в результате одного цикла, a q\ — количество тепла, отданное тому же нагревателю второй машиной также в результате одного цикла. Если величины q1 и q\ соизмеримы, то всегда можно подобрать целые числа т и т' так, чтобы mqx — m'q\ = 0, т. е. Q, — Q1 = 0. Если же эти величины не соизмеримы, то целые числа т и т' можно выбрать настолько большими, чтобы это равенство выполнялось с какой угодно заранее заданной точностью. Поэтому физически всегда возможно выбрать целые числа тит' так, чтобы Q, — = 0.
Тогда результат кругового процесса представится в следующем виде:
Состояние нагревателя не изменилось.
Холодильник отдал тепло (Q'2 — Q-.) = (“П — т)') Qi > 0.
Машина совершила работу r)Qi — n’Qi = (т] — ц’) Qi > 0.
Таким образом, единственным результатом кругового процесса будет производство работы (т) — ц') Q1 > 0 за счет эквивалентного количества тепла, заимствованного от холодильника. Это процесс Томсона — Планка, возможность которого противоречит постулату второго начала термодинамики. Поэтому предположение г) > ?)' неверно. Точно так же неверно предположение tj' > tj. Чтобы убедиться в этом, надо заставить вторую машину пройти цикл Карно в прямом, а первую — в обратном направлении и повторить наше рассуждение. Следовательно, т] = ц', и теорема Карно доказана.
3. Поучительно получить неравенство (37.2) из постулата Клаузиуса.
Если в основу доказательства положить постулат Клаузиуса, то рассуждение немного изменится. Выберем целые числа т и т' так, чтобы работа, выполненная обоими машинами, равнялась нулю: = 0. Тогда результат кругового
процесса представится в виде:
•JT -
нагреватель получил тепло QJ — Qt = —1 ¦ - Qt > 0,
холодильник отдал тепло Q’, — Qa = (1 — т)') — (1 — ї)) Qx = QJ — Qi > 0.
Никаких других изменений не произошло. Единственным результатом процесса получился переход тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому. Эго противоречит постулату Клаузиуса, что и доказывает теорему Карно.
§ 31. Термодинамическая шкала температур
1. В 1848 г. Вильям Томсон (лорд Кельвин) указал, что теоремой Карно можно воспользоваться для построения рациональной температурной шкалы, совершенно не зависящей от индивидуальных особенностей термометрического вещества п устройства термометра.
100
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
РГЛ. III
Из теоремы Карно следует, что к. п. д. цикла Карно может зависеть только от температур нагревателя и холодильника. Обозначим буквами и t2 эмпирические температуры нагревателя и холодильника, измеренные каким-либо термометром (например, газовым, ртутным, термометром сопротивления и т. п.). Тогда
*3), (31.1)
где I (/], /.,) — универсальная функция выбранных эмпирических температур tl и 4- Ее вид совершенно не зависит от устройства р машины Карно и от рода исполь-
зуемого рабочего вещества. Этим обстоятельством и воспользовался Вильям Томсон, предложивший применить цикл Карно для построения температурной шкалы.
2. Чтобы построить термодинамическую шкалу температур, введем более простую универсальную функцию температур t1 и t.2:
#- = <Р(*1, у. (31.2)
V2
Рис. 26. Эта функция легко выражается
через прежнюю функцию f U). Определим общий вид функции ф (/,, t„). С этой целью возьмем три тепловых резервуара, температуры которых поддерживаются постоянными. Эмпирические температуры этих резервуаров обозначим tu t2, t3 соответственно. Используя их в качестве нагревателей и холодильников, проведем три цикла Карно, изображенные на рис. 26. Для циклов Карно 1234 и 4356 можно написать
¦§- = ф(*ь U),
¦§-=ч>&. к).
Исключив отсюда тепло Q.2, получим
§=<р(*і, к)чЛк, h).
Но эти два цикла, объединенные вместе по схеме рис. 26, эквивалентны одному циклу Карно 1256. Это потому, что изотерма 43 проходится дважды в противоположных направлениях и может быть исключена из рассмотрения. Следовательно,
-§- = Ф(/ь U).
S зі]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ШКАЛА ТЕМПЕРАТУР
101
Сравнивая это соотношение с предыдущим, получим ф(*і, *г)ф(*2, У = ф (^i, U),
(31.3)
откуда
(31.4)
или
Qi = Ц' ih. У Q-i ф (к, t3) ’
(31.5)
Такое соотношение справедливо при любом значении аргумента t3. Левая часть его не зависит от значения температуры t3. Поэтому и отношение в правой части не может меняться с изменением t3. Можно фиксировать /3, не меняя значения самого отношения. Но тогда числитель в правой части формулы (31.5) будет функцией одного только аргумента tv Обозначим эту функцию через 0 (/,). Знаменатель будет такой же функцией, но от аргумента t2. Итак,
