Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
можно было считать преодоленными. И действительно, в этой знаменитой
статье Риччи иЛев и-Ч и в и т а динамике посвящена целая глава.
Все же эти ранние усилия, направленные на создание союза между тензорным
исчислением и динамикой, не были встречены с особым энтузиазмом.
Тензорное исчисление можно было сравнить с маленьким ребенком,
неизвестным вне узкого круга мате-матиков-специалистов, тогда как
динамика была зрелой трехсотлетней дамой, которая, по справедливости,
могла оспаривать у любимицы Гаусса титул .Королевы наук" *). Но когда в
1916 г. мир был потрясен общей теорией относительности, тензорное
исчисление сразу становится .героем дня", в то время как репутация
классической динамики и физики несколько тускнеет. Ничто не мешало
теперь- этому, неравному прежде, союзу. Но вряд ли надо специально
оговаривать, что такой математический союз не предполагает .верности" от
его членов, и, действительно, тензорное исчисление никогда не
рассматривало связь с динамикой иначе, как приятный эпизод в своей
деловой жизни.
Предмет настоящей статьи лежит между аналитической динамикой, с одной
стороны, и чистой римановой геометрией - с другой; вопрос о том, где
проходит пограничная линия, зачастую бывает трудно решить. В качестве
рабочего правила условимся не рассматривать сочинений по динамике, в
которых не используются обозначения ковариантного и абсолютного
*) .Королевой наук* Гаусс называл теорию чисел. (Прим. ред.)
8
диференцирования, и сочинений по геометрии, слишком общих для того, чтобы
получить применение при изучении конкретных динамических систем,
встречающихся в природе. Я придерживаюсь, в основном, этого правила,
указывая, впрочем, в библиографических ссылках некоторые работы, лежащие
за указанными границами 1).
Как было указано, тензорные методы в динамике ведут свое начало от статьи
Риччи и Леви-Чивита 1900 г. Далее мы отметим работу Райта (Wright) [1]*)
1908 г. После долгого перерыва работы вновь стали появляться около десяти
лет тому назад**); первая из них принадлежит Г о рак у (Нога к) [11, она
вышла в Чехословакии в 1924 г. В 1926 г. я дал систематическое изложение
вопроса2). В этом же году появились статьи Лев и-Ч ивита [1],
[2]иВранчеану (Vranceanu) [1], [2], [3]. Основными исследователями в этой
области в то время были Гора к, Вранчеану, Вундхейлер (Wundheiler) и я3).
Крон (Kron) [1], [2], [3], [4] опубликовал в последнее время статьи и
книги о приложениях тензорного исчисления к электротехнике, но, так как я
до сих пор не был в состоянии понять его точку зрения, я принужден
оставить эти работы без комментариев.
Прежде чем перейти к деталям, не лишнее будет сказать несколько слов о
значении тензорных методов в динамике. Я ограничиваюсь здесь классической
динамикой, оставляя в стороне релятивистскую и квантовую механику.
Тензорные методы прилагаются к динамике в первую очередь не для того,
чтобы разрешать некоторые конкретные динамические задачи. Целью этих
методов является скорее адэкватное изложение так называемых "общих
проблем динамики", делающееся возможным при проникновении в динамику идей
римановой или даже еще более общей геометрии. В этом направлении получены
неожиданно прекрасные результаты. Мы обнаруживаем, что поведение общей
динамической системы в точности-такое, какое естественно приписать точке
в N-мерном про.
J) В этой связи следует упомянуть о работах: Berwald und Frank [1];
Eisenhart [1]; Frank [1]; Hamel [1]; Kells [1]; Lipka [1], [2], [3], [4].
*) Переработка этой книги, выполненная в 1932 г. Веблен ом (Veblen) (1],
учитывает современное изложение вопроса. Русский перевод этой книги
готовится к печати. (Прим. ред.)
**) Написано в 1936 г. (Прим. ред.)
*) Synge [1]; эта работа осталась, кажется, незамеченной многими
авторами; она не упомянута в библиографии к работе Н о г а к'а [8],
опубликованной в 1934 г.
*) Wundheiler [3), стр. 123, дает сравнительную характеристику методов.
9
странстве. Таким образом, мы воскрешаем геометрический дух, столь
тщательно изгнанный из работ Лагранжа и Гамильтона (Hamilton), и наглядно
представляем себе движение системы, причем не как движение совокупности
частиц в трехмерном эвклидовом пространстве, а как движение единственной
точки риманова N-мерного пространства. Я старался не терять из вида, что
предметом настоящей работы является в первую очередь динамика и лишь во
вторую очередь - геометрия. Соблазн прочесть геометрическую проповедь на
текст из динамики должен был быть преодолен. Вот почему наибольшее
внимание я посвящу системам, наиважнейшим с динамической точки зрения.
Менее важные в динамическом отношении системы, именно, неголономные
системы и системы с подвижными связями, представляют особый интерес для
геометров*). Я остановился на этих вопросах, но не входил в подробности.
Очень компактные обозначения Горака и Схоутена (Schouten) будут
использованы лишь в § 9; например, они не будут введены при изучении
неголономных систем в § 4. Это сделано частично для разнообразия,
