Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
многообразие, расслоение, связность, формулируются в алгебраических
терминах модулей и пучков. Поэтому первая глава книги посвящена
дифференциальному исчислению на модулях и пучках.
Область применения геометрических методов в квантовой теории поля
чрезвычайно обширна. В этой книге мы ограничимся в основном рассмотрением
связностей в квантовых полевых моделях. Эго сунерсвязности, связности в
БРСТ-формализме, в топологической теории поля, в теории аномалий, в
некоммутативной геометрии и т.д. Как правило, они вводятся как связности
на модулях и пучках. Такое определение связности эквивалентно привычному
геометрическому понятию связности в случае векторных расслоений. При этом
целью книги не является сколько-нибудь полное описание тех или иных
полевых моделей. Гпавное внимание в ней уделяется тем конструкциям в
квантовой теории поля, где фигурируют связности. Именно связности
позволяют иметь дело с инвариантно определенными объектами как в
классической, так и квантовой теории поля. Успехи калибровочной теории
ясно показали, что это фундаментальный физический принцип. Кроме того,
использование связностей устанавливает новые, подчас неожиданные, связи
между классической и квантовой теориями.
Глава 1
Алгебраические связности
В первом томе [11] связности определялись на расслоениях. В квантовой
теории поля обычно имеют дело не с расслоениями в их традиционном
геометрическом описании, а с модулями и пучками их сечений (см. ниже
Пример 1.3.4). Поэтому связности должны быть описаны в тех же
алгебраических терминах. Эта глава посвящена связностям на модулях и
пучках над коммутативными алгебрами [101, 113]. Обобщение этой
конструкции на модули и пучки над градуированными коммутативными
алгебрами приводит к градуированным связностям и суперсвязностям (Глава
3), а на модули над некоммутативными алгебрами - к связностям в квантовой
механике (Глава 2) и некоммутативной геометрии (Глава 7).
Всюду в книге под гладкими функциями и отображениями подразумеваются
функции и отображения класса С00, а многообразия предполагаются гладкими
и являются отделимыми локально компактными и паракомпактными
топологическими пространствами.
§ 1. Дифференциальное исчисление на модулях
Этот параграф посвящен основным элементам дифференциального исчисления на
модулях над коммутативными алгебрами [4, 78, 101, 113] (см., например,
[7, 8], а также §7.1 по алгебраической теории колец и модулей).
Всюду в книге, если речь не идет об алгебрах Ли, алгебры предполагаются
ассоциативными.
Пусть К - коммутативное кольцо и4 - коммутативная /С-алгебра с единицей,
т. е. А является одновременно /С-модулем и коммутативным кольцом,
называемым также IC-кольцом. Например, если /С = R - поле вещественных
чисел и 4 - кольцо вещественных гладких функций на многообразии, мы
приходим к привычному дифференциальному исчислению на многообразиях (см.
Замечание 1.1.7 и далее конец этого параграфа).
Пусть Р и Q - левые .4-модули (правые модули рассматриваются аналогично).
Они являются также центральными /С-бимодулями (см. §7.1). Множество Нот
К(Р, Q) гомоморфизмов /С-модуля Р в /С-модуль Q может быть наделено
структурой А.-А-бимодуля относительно левого и правого умножений
(аф)(р) = аф(р), (ф*а)(р) = ф(ар), а 6 Л, р ? Р. (1.1)
Однако это не центральный Д-бимодуль, поскольку в общем случае аф Ф ф +
а. Обозначим
6аф-аф-ф*а. (1.2)
Определение 1.1.1. Элемент Д 6 Нот ^(Р, Q) называется линейным
дифференциальным оператором порядка s на Д-модуле Р со значениями в Д-
модуле Q (или сокращенно Q-значным дифференциальным оператором на Р),
если
^о...о^Д = 0 для произвольного набора из s + 1 элементов алгебры А. ?
§ 1. Дифференциальное исчисление на модулях
5
В дальнейшем под дифференциальными операторами подразумеваются только
линейные дифференциальные операторы.
Пример 1.1.1. Согласно Определению 1.1.1 дифференциальный оператор
первого порядка Д удовлетворяет условию
(6а о 6ьА)(р) = A(abp) - аА(Ьр) - ЬА(ар) + аЬА(р) = 0 (1.3)
для всех рбРиа, Ь € А. ?
Множество Diffs(P, Q) С Horn k(P,Q) дифференциальных операторов порядка s
на модуле Р со значениями в модуле Q наделено структурой А-А-бимодуля
(1.1). Легко убедиться, что
Diffs(P,Q)C Diff*(P,Q), k>s.
Поскольку левые и правые A-модули Diffs(P, Q) имеют разные свойства, мы
будем обозначать эти модули раздельно как DifTJ"(J3, Q) и DifTT"(Р, Q)
соответственно, сохраняя символ Diffs(P, Q) для А-А-бимодуля.
Например, пусть Р = А - ?-алгебра. Рассмотрим морфизм
2>": Diffr(А, <?) - <?,
2МД) = Д(1), 1€А
Легко убедиться, что это дифференциальный оператор порядка s на правом Д-
модуле Diffr(A Q) и в то же время дифференциальный оператор нулевого
порядка на Д-левом модуле ЬИГГ(Д, Q).
Теорема 1.1.2. Для всякого дифференциального оператора Д € DifF^-(Р, Q)
существует единственный гомоморфизм
Гд: Р - Diff7(A<?),
[^д(р)](а) =Г A(ajo), V а € Д,
такой, что коммутативна диаграмма
Р - Diffr (А, Q)
л\А
Q
?
Соответствие Д Гд задает изоморфизм модулей
