Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Нот л(Р, DifTj"(A, Q)) = DifTHP.Q). (1.4)
Это означает, что любой Q-значный дифференциальный оператор на Д-модуле Р
представим в виде гомоморфизма Р в правый А-модуль Q-значных
дифференциальных операторов на алгебре Д. Поэтому мы сосредоточим свое
внимание именно на этих операторах.
Определение 1.1.3. Оператор первого порядка д на алгебре Д со значениями
в Д-модуле Q называется Q-значным дифференцированием алгебры Д, если он
удовлетворяет правилу Лейбница
д(аа) = ад(а') + а'д(а), Уа,а' € Д. (1.5)
Это правило - частный случай условия (1.3). ?
Поскольку для любого а (Е Д оператор ад - это тоже
дифференцирование,
дифференцирования образуют подмодуль Der(A, Q) левого Д-модуля
Difr"(A, Q).
6
Глава 1. Алгебраические связности
В то же время оператор д * а не является в общем елучае
дифференцированием. Поэтому множество дифференцирований Der (Л, (?)
наделено только правой структурой /С-модуля. Существует мономорфизм
правых ?-модулей
г: Der (Л, (?) -> Difl'P(-4, (?)• (1.6)
Легко убедиться, что дифференциальный оператор первого порядка Д на
алгебре А является дифференцированием тогда и только тогда, когда Д(1) =
0. Таким образом, имеет место точная последовательность /С-модулей
0 -¦ Der (А, (?) DilTp(A, Q) -> (? -> О.
Замечание 1.1.2. Пусть j: Р -* Q - Л-подмодуль "4-модул я (?. Любое Р-
значное дифференцирование 0 алгебры А порождает ее (?-значное
дифференцирование г о0, и тем самым задан гомоморфизм левых Л-модулей
д'г. Der (Л, Р) -* Der (Л, Q). (1.7)
Трудность возникает, когда Р не является Л-подмодулем модуля Q. как,
например, в случае вложения (1.6). ?
Применим функтор дифференцирования (1.7) к вложению (1.6).
Модуль
Der (Л, ПКТр(Л, (?)) состоит из дифференцирований алгебры Л со
значениями в пра-
вом Л-модуле DiffTM, <?)¦ Если 0 € Оег(Л, DifTpM, (?)), Т0ГДа 9(a) е
DifT~(-4, Q), Va € Л, так что
d(aa) = д(а) *а + д(а) * а, V а, а 6 Л.
Возьмем теперь модуль Der (Л, Der (Л, (?)), где Der (Л, (?)
рассматривается как левый Л-модуль. Элементы д € Der (Л, Der (Л, (?))
удовлетворяют условию
д(аа) = а'д(а) + ад(а'), V a, а' € Л.
Тогда нетрудно проверить, что пересечение
Der j(Л, (?) = Der (Л, Оег(Л,(?)) П Der (Л, DiffpM.Q))
состоит из таких элементов модуля Оег(Л, 01ТГр(Л, (?)), что выполняется
условие
(0(a))(a) = (д(а))(а).
Это левый Л-модуль. Существует естественный мономорфизм модулей
Der 2(Л, (?) -" Der (Л, 0!1Гр(Л, (?)). (1.8)
Определим по индукции модуль
Der "и(Л, (?) == Der (Л, Der "(Л, (?)) П Der (Л, (DilTp (Л, Р))п),
где
(DifTp ((?))* = DifTp (Л,..., DilTp(Л, DilTP(Л, (?))...).
Мономорфизм (1.8) обобщается на дифференцирования высшего порядка как
Der *(Л, (?) -" Der *_, (Л, DilTp(Л, (?)). (1.9)
Перейдем теперь к модулям струй. Для данного Л-модуля Р рассмотрим
тензорное произведение АС-модулей А(%) Р, наделенное структурой левого Л-
модуля
к.
§ I. Дифференциальное исчисление на модулях
7
Для всякого элемента Ь ? Д определим морфизм левых Д-модулей
б4(а (r) р) = (ba) (r) р - а (r) (bp). (1-1 О
Обозначим через р*+| подмодуль левого Д-модуля А<§§Р, порождаемый
элементами вида
бЬа о... о 6bi (1 (r)Р).
Опредьлкнин 1. 1.4. Модулем струй порядка к Д-модуля Р называется фактор
Jk(P) тензорного произведения А КР по подмодулю //:+|. Это левый Д-модуль
относи-тельно операции умножении
b(a (r) р mod д* + |) = ba (r) р mod д*4-1. (1.12)
?
Помимо структуры левого Д-модуля, индуцированной равенством (1.10),
модуль А:-струй Jk(P) допускает также структуру левого Д-модуля,
задаваемую операцией умножения
b * (а (r) р mod д*4') = а (r) (bp) mod д*+|. (1.13)
Назовем ее структурой ^-левого модуля. Определен гомоморфизм "-левых Д-
модулей
Jk: Р -> Jk(P), Jkp= l(r)pmod/+l (1.14)
такой, что Jk(P) как левый Д-модуль порождается элементами Jkp, р ? Р.
Нетрудно убедиться, что гомоморфизм Jk (1.14) - это дифференциальный
оператор порядка к (достаточно сравнить соотношение (1.3) с приведенным
ниже соотношением (1.15)).
Замечание 1.1.3. Если Р - это Д-Д-бимодуль, тензорное произведение д(r)р
к
наделено структурой правого Д-модуля
(а (r) р)б = а (r) рб, V б ? Д,
которая переносится и на модуль струй:
(а (r) р mod fik+[)b = a (r) (pb) mod д*+|.
Если Р - центральный бимодуль, т. е.
ap = pa, V fl ? Д, р ? Р,
структура "-левого Д-модуля (1.13) на Jk(P) эквивалентна структуре
правого Д-модуля, индуцируемой на Jk(P) структурой правого Д-модуля на P.
D
Модули струй обладают свойствами, аналогичными свойствам многообразий
струй (см. первый том 1111, а также §4.1). В частности, поскольку // С р\
г > а, имеет место обратная система эпиморфизмов левых Д-модулей
... -> J'(P) ^
а для повторного модуля струй J'(Jk(P)) определен гомоморфизм
J,+k(P)^j'{jk{P)).
Пример 1.1.4. Модуль струй первого порядка j'(P) образован элементами а(r)
pmodp2, т.е. элементами а(r)р по модулю соотношений
6а об*(1(r) р) = (б" об")j'(p) = 1(r) (аЬр) - в(r) (Ьр) - Ь(r) (ар) + аЬ(r) р = 0.
(1.15)
8
Г лава 1. Алгебраические связности
В частности, морфизм тг,1,: Jl(P) -*¦ Р имеет вид
