Сборник задач по физике. Механика - Русаков А.В.
Скачать (прямая ссылка):
4
(рис. 17). Отсюда получаем: a = x''(t) = — TtGpx - уравнение гармонических колебаний.
14.40. T = 2тс.
/
2^g
Указание: Если центр доски не совпадает с серединой расстояния между центрами цилиндров, то силы давления доски на цилиндры будут разные, а значит разными будут и
силы трения, действующие на доску со стороны цилиндров. Если связать ускорение доски с величиной смещения центра доски от средней точки, то получится уравнение гармонических колебаний.
14.41. Уменьшится
Указание: После падения шарика возникнут колебания, амплитуду которых найдем из закона сохранения энергии:
величина смещения положения равновесия чашки, связанная с увеличением ее массы. Искомая высота равна Ah + А.
14.45. Ahmix = -j^ +
k J +k(M + m)
14.46. a) T = 47і, ~; б) T = TiJ-; в) T=167iJ-;r)
5m
k
m
Указание:
203
в) Если мы опустим груз вниз на величину х относительно положения равновесия, то пружина растянется на величину
груз, будет равна: F = - Fynp = - кАх
д) Если мы опустим груз вниз на величину х относительно положения равновесия, то верхняя пружина растянется на Axb а нижняя - на Ax2. Причем х - Ax7 = 2Ах,. Кроме того: 2кАх2 = кАх,. Возвращающая сила, действующая на груз, равна: кДх2.
Ax = — х. При этом возвращающая сила, действующая на
О
14.49. Колебания гармонические; A = 5 см
1
14.50. -T
2
а
г
Указание: Если а « 1, то cosa « 1 -
2
Указание: Cm указание к № 14.51.
204
14.56. T = T0
tga
Указание: Период колебаний математического маятника
бодного падения, то есть ускорение, с которым начнет двигаться тело, если предоставить ему возможность свободно двигаться. В системе отсчета неподвижного бруска B3фі = gsina, а в системе отсчета движущегося бруска
%зфг = gsina -а, где a = g(sina - cosa).
Указание: При отклонении шарика на малый угол а на него действует возвращающая сила: F * mga + 2кх, где х » а/.
Указание: Центр масс системы неподвижен. Колебания системы можно представить как колебания груза тг на
равен: T = 2ж I--, где g^ - эффективное ускорение сво-
14.57. А
3mg
к
205
/ і 2
пружине длиной /, = /-----------, или колебания груза тг на
w , Ші
пружине длинои I2 -1-----------, где / - полная длина пружи-
Указание: Так как трения нет, то центр масс системы находится на одной вертикали. А значит колебания маятника происходят на нити длиной 1\, равной расстоянию от центра масс системы до груза ш.
14.OJ. і =
Vcosa
Указание: В системе отсчета скатывающейся тележки "эффективное" ускорение свободного падения равно gcosa.
14.64. H * l,94h
ленного подъема. За время подъема до высоты h часы ушли
ны. Из закона Гука: — = Е— получается: к, 2
J /
сткость части пружины длиной /, 2.
= к-— - же-
206
вперед на At = ~ (T0 - T1), а за время подъема от высоты h
до высоты H они отстали на ту же At = - (Т, - T0), где ti и
* 2
t2 - времена равноускоренного и равнозамедленного движения.
/ 4ш/
14.65. T = 2к '
! 4mg + k/
Указание: При отклонении системы на малый угол а от вертикали второй закон Ньютона можно записать в виде:
m a = mga + — к Al, где А/ = — Ia - удлинение пружины.
14.66. T = 2л:,/——
\ gsina
Указание: Колебания такого маятника аналогичны колебаниям маятника на наклонной плоскости (см. № 14.56).
І2І
14.67. T = 2тсЛ/—
V 8
Указание: Через две неподвижные точки А и С проходит ось вращения системы (см. № 14.66).
Fm,/,2 +mJ,2
14.68. Т = 2к' 11 22
g(m,/, -ш2/2)
Указание: Уравнение движения системы: Je -M5 где J = ш,/,2 + іTi2Z22 - момент инерции; M = (Hi1Z1 -m2Z2)a -возвращающий момент сил при малых углах отклонения а.
FsT
14.69. T = 2kJ~
V6S
207
14.70. T = T,
/
Указание. Период колебаний груза во втором случае равен:
I in , , I
T = 2я, -----— , где к,, = к-— - жесткость получившихся
VkI +к2 1.2
пружин; к - жесткость исходной пружины. gT2(M + m)
14.71. BC =
47С"М
Указание: Так как нить AB все время вертикальна, то центр масс системы должен находиться на одной вертикали.
27TV
14.72. Траекторией будет окружность; T =
14.73. Траекторией является окружность радиусом А; а = ф2 А
V2 -2
14.74.
V X
-г—Y + тт = I- уравнение эллипса;
A2Oz ' А я(х) = -Co2X - уравнение прямой. Графики v(x) и а(х) приведены на рис. 18
2х
14.75. у = А - парабола
14.76. Увеличится
208
14.77. T = л/2-T0
14.78. Часы начнут спешить
14.80. T = —
Указание: По закону сохранения энергии: 2mg/ = —, где /
- расстояние от оси вращения до центра масс. При малых колебаниях уравнение движения: Je = M, где M = mg/a -возвращающий момент сил.
Указание: При малых колебаниях твердого тела уравнение движения записывается в виде: Je = M » mg/a, где m - масса тела; / - расстояние от центра масс тела до оси вращения.
соединения тел их масса будет равна т, + т2, момент
инерции - J, + J2, а расстояние от общего центра масс до
т./. + т2/2
оси вращения ----------------.
