Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
во всех приведенных далее примерах.
20.2. ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
Теперь мы опишем некоторые представления групп, естественным образом
возникающие в физике. Согласно гл. 19, преобразования в трехмерном
пространстве, которые получаются путем вращений
г) X часто называют представляющим пространством или пространством
представления.- Прим. перев.
54
Гл. 20. Представления групп 1
декартовых осей вокруг начала координат, составляют групп; 50(3).
Различные представления этой группы даются законам1 преобразования для
компонент тензоров. Если декартовы коор динаты преобразуются посредством
х -> х', где
з
2 ?/***, (20.2.1
fe=i
а iSik) - матрица вращения [элемент группы 50(3)], то компо ненты Ttj
тензора второго ранга преобразуются по закону
'Л', = 5)'Zgikg/lTkl. (20.2.2)
к I '
Если девять величин Т(J обозначить через Xit ... , Хв и рассматривать их
как координаты точки X в пространстве R9, то каждое преобразование х ->¦
х' индуцирует преобразование X ->¦ X', и эти последние
преобразования дают представление группы
50 (3) на R9. Преобразования компонент тензора третьего
ранга
дают представление группы 50 (3) на R2' и т. д.
Более специфичные представления могут иметь место в том случае, когда
компоненты тензора связаны некоторыми отношениями симметрии. Допустим,
что Ti} - компоненты тензора скоростей деформации в некоторой точке
жидкости:
Т Ц = dVj/dxj,
где v = v (х)-векторное поле скоростей. Если течение безвихревое, то
7\. = г" а, , = 1, 2, 3). (20.2.3)
Нетрудно проверить, что эти соотношения инвариантны относительно
вращений, т. е. если Tii-T/i для всех i и /, то Т'ц-T'ji (см. ниже
упражнение 2). Следовательно, в этом случае только шесть компонент Тц
являются независимыми, скажем величины Yt, определяемые как
Y =Т. Y -Т У = Т •
1 1 - 12> 1 2 - 1 23> 1 8 - 1 31"
Y -Т Y = Т Y = Т
1 4 - ' 11> 1 5 - ' 22> 1 в - '33'
Тогда вращение х-<-х' индуцирует линейное преобразование Y -<¦ Y' и
получается 6-мерное представление группы 50(3).
Пусть, кроме того, жидкость несжимаема; тогда имеется дополнительное
соотношение
7\l+ ^22 + ^33 = (20.2.4)
которое также инвариантно относительно вращений (см. ниже
упражнение 3). В этом случае Ye можно опустить (т. е. его всегда
можно вычислить как -Yt - Ё6), и преобразования компонент Yu ... , Y6
дают 5-мерное представление группы 50 (3).
20.2. Законы преобразования векторов и тензоров
55
Соотношения (20.2.3) и (20.2.4) определяют подпространства пространства
Re, которые инвариантны относительно преобразований (20.2.2);
инвариантность этих подпространств позволяет привести 9-мерное
представление к 6-мерному и 5-мерному представлениям. [Можно получить 8-
мерное представление, используя лишь (20.2.4).] В дальнейшем выяснится,
что 5-мерное подпространство нельзя далее разложить на инвариантные
подпространства меньшей размерности; поэтому 5-мерное представление
неприводимо. Окажется, что для любого нечетного целого т существует
неприводимое m-мерное представление группы 50(3); в случае tn> 1 такое
представление является точным.
Исходный закон преобразования (20.2.1) для компонент вектора х
обеспечивает, разумеется, трехмерное представление. (Если вращения
рассматривать как элементы некой абстрактной группы, то такое
представление не более тривиально, чем любые другие.) Более того, ради
полноты (в том смысле, который будет уточнен позднее) мы включаем в
рассмотрение и одномерное представление, даваемое законом преобразования
скаляров, согласно которому они вообще не преобразуются. Любой скаляр
есть вещественное число х, и каждый элемент группы (вращение)
отображается на тождественное преобразование х -*• х в R. [Отсюда не
следует делать вывод, что одномерное представление группы всегда состоит
только из тождественного преобразования. Одномерное представление группы
GL(n, R) или группы GL (п, С) дается отображением элемента М группы
[матрица размера пхп] на преобразование х->-(detM)A: в R или в С.]
Представления групп Лоренца (см. в § 19.4) аналогично даются законами
преобразования скаляров, векторов (т. е. 4-мерных векторов) и тензоров
при преобразованиях Лоренца в пространстве-времени; эти представления
имеют размерности 1,4, 16, ....
Шестимерное представление (ограниченной) группы Лоренца 3? р задается
законом преобразования для компонент электрического и магнитного полей Е
и Н в свободном пространстве (Интерпретация этого закона при помощи
тензоров будет объяснена ниже в упражнении 5.) Согласно частному
преобразованию Лоренца
(19.4.1), компоненты электрического и магнитного полей преобразуются по
закону
ЕХ=ЕХ, Еу = у [Еу (v/c) //г], Ег = у [?г -4- (и/с) //у], /20 2 5) Н'Х =
НХ, H'y = y[Hy + (v/c)Eg], Н'г = у[Нг-(о/с)Еу],
где
у = (1- и2/с2)-1/а.
(См. любой хороший курс электромагнетизма.) При вращении компоненты поля
Е и компоненты поля Н преобразуются независимо по обычному закону
(20.2.1) для векторов. В соответствии с § 19.4
56
Гл. 20. Представления групп I
