Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 16

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 162 >> Следующая

просто как x'v = p$xv. В теории относительности индексы, обозначенные
греческими буквами, пробегают обычно значения от 1 до 4, а индексы,
обозначенные латинскими буквами,- значения от 1 до 3.
Множество {Р(ф)} матриц (или преобразований) указанного выше вида,
получаемое, когда ф принимает все вещественные значения, представляет
собой группу, которая будет обозначена через 3?х,- эта группа является
подгруппой группы Лоренца. Заметим, что
р (<Pi) р (ф2) = Р (Ч>1 + Фа); (19.4.5)
из этого уравнения можно получить закон композиции (коллине-арных)
скоростей, иначе говоря, получить формулу для скорости, с которой третья
инерциальная система отсчета движется относительно первой системы, через
скорость второй системы относительно первой и скорость третьей системы
относительно второй; вывод формулы оставляем в качестве упражнения.
Если вторая система отсчета получается лишь путем вращения первой системы
в пространстве, то преобразование задается мат-
(19.4.2)
(19.4.3)
(19.4.4)
19.4. Группы Лоренца
41
рицей вида
R =
ООО
(R')
(19.4.6)
где через R' обозначена матрица размера 3x3 собственного вращения, т. е
элемент группы 50(3). Множество всех таких матриц (или преобразований)
является подгруппой вращений группы Лоренца и обозначается через 31.
Группа, порождаемая элементами групп 3 х и 31, т. е. группа, состоящая из
всех конечных произведений QxQ^.-.Q/, где каждый множитель Q/ имеет вид
либо (19.4.4), либо (19.4.6), называется собственной (или ограниченной)
группой Лоренца и обозначается через Л?р. Собственная группа Лоренца
является связной в следующем смысле.
Лемма. Если Q0-произвольный элемент группы 3 р, то существует
однопараметрическое семейство Q (к) элементов группы 3р,
Доказательство Во-первых, любой элемент Р (<р) из группы Хх можно
перевести в единицу группы, меняя <р непрерывно от нуля до его конечного
значения; во-вторых, любой элемент R из группы 31 можно перевести в
единицу, меняя непрерывно угол вращения от нуля до его конечного
значения; поэтому если Q0 = QiQa-• -Qj, где каждый Q,- принадлежит либо
Хх, либо 31, то в качестве интервала [О, А,0] можно принять [0, /], a Q
(А,) можно выбрать так, что Q(0) = /, Q(l) = Qi, Q(2) = QiQa и т.д. и,
наконец, Q (J) = = QiQi-,-Qf, причем для нецелых значений параметров
используется интерполяция.
Проверка показывает, что фундаментальная (квадратичная) форма (xJ)2 +
(х:2)2+ (х3)2-(л:4)2 инвариантна относительно всех преобразований групп
3х и 31, а значит, и относительно всех преобразований группы 3 р. Эту
форму можно записать в виде gwxW, где
причем соглашение о суммировании применено как к р, так и к V. Если 4-
мерный вектор xv- в квадратичной форме за-
менить сначала на л^+гД а затем на х^-у^ и из первого результата вычесть
второй, то видно, что инвариантность квадратичной формы эквивалентна
инвариантности симметриче-
ской билинейной формы gtivx>lyv = х1у1 + х2уг + х3у3-х1у1.
таких, что все матричные элементы непрерывно зависят от К для 0 ^ X ^ Я0,
причем Q(0) = I, Q(X0) = Q0.
(19.4.7)
42
Г л. 19. Непрерывные группы
Теперь можно определить полную (однородную) группу Лоренца как группу
всех однородных линейных преобразований х1,. . . ..., х*, относительно
которых guvX^x' инвариантна для всех 4-мерных векторов эта группа
обозначается через 3 s. Пусть преобразование х^ -* х'ц = q$xv-
произвольный элемент группы 3f. Тогда из инвариантности билинейной формы
следует, что или> в матричных обозначениях, что
QtGQ = G\ (19.4.8)
иначе говоря, столбцы Q являются псевдоортогональными псевдо-единичными
векторами в том смысле, что
I +1 для v= 1, 2, 3,
для ve4| <19-4-9) q\q{ + qlql + qlq{ - qiqi = 0 для (19.4.10)
Отсюда следует, что матрица, обратная матрице Q, может быть получена из
матрицы QT изменением знаков по следующей схеме:
Поскольку Q'1 также является лоренцевым преобразованием, строки матрицы Q
также являются псевдоортогональными псевдо-единичными векторами.•
Из (19.4.8) следует, что детерминант матрицы Q равен ±1. Если в качестве
{х1, . . ., х4} взять {0, 0, 0, 1), то инвариантность фундаментальной
формы показывает, что
3 3
2 (х'^-(х'г= 2
/=1 ,¦=1
Следовательно, q\ или ^ 1, или ^-1.
Теорема. Собственная группа Лоренца Зр, определенная выше как группа,
порожденная группами 3х и 5?, состоит из всех преобразований Q, которые
принадлежат 3{ и для которых det Q = +1, a q\ > + 1.
Доказательство. Сначала показывается, что из связности группы Хр следует,
что detQ = + I и <745=1 для любого элемента Q из Хр. Пусть Q переводится
в единицу /, как в доказательстве леммы; поскольку Q(0) = /, имеем det Q
(0) = I и <74 (0) = I; в силу непрерывности det Q (X) и <74 (А,) при
изменении X не могут стать отрицательными. (То, что det Q = I, можно
установить и непосредственно из разложения Q = QiQa...Qy, где каждое Q;
принадлежит либо Хх, либо 5i). Обратно, допустим, что Q-любое
преобразование из X/, такое, что detQ = I и <7^5=1. Покажем, что Q можно
предста-
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed