Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, для любого угла 0 из интервала [0, 2Ц0О||] G0 содержит
хотя бы один элемент /? (0), такой, что ||0|| = 0. Снова используя то,
что G0 - нормальная подгруппа, устанавливаем, что G0 содержит любой R
(0), такой, что
А =
Но det/Г = det Л, и поэтому
Р-х*-уг-гг = Гг - х'г-у'г-г'*.
19.9. Простота группы вращений и группы Лоренца
51
О < 101|< 21| 0О ||; но если R (0) принадлежит G0, то и R (0) R (0) = Я
(20) принадлежит G0, и R (30) принадлежит О0 и т. д.; следовательно,
подгруппа G0 содержит любой элемент R (0) для О<||0|]<л т. е. G0 = SO(3).
Собственная группа Лоренца также является простой, но доказать это
сложнее.
Глава 20
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП I.
ВРАЩЕНИЯ И СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
Представление; точное представление; размерность; приводимость;
неприводимое представление; законы преобразования тензоров; представления
групп 50(2) и SO (3); инфинитезимальные операторы; операторы поднятия и
опускания; эффективное и транзитивное действие группы; однородное
пространство; регулярное представление; тессеральные гармоники;
многочлены Лежандра и присоединенные функции Лежандра; рекуррентные
соотношения и дифференциальное уравнение для Pf; формула Родрига для РТ\
ортонормн-рованность и полнота тессеральных гармоник; теорема сложения.
Предварительные сведения: гл. 18 и 19; элементарная теория матриц;
знакомство со специальными функциями математической физики.
В этой и в двух следующих главах будет показано, что имеются существенные
связи между тремя столь, казалось бы, разными дисциплинами, как
представления групп, классические специальные функции и квантовая
механика.
Представления групп тесно связаны с различными специальными функциями
математической физики. В определенном смысле первостепенная роль этих
функций заключается в демонстрации отношений симметрии. Например, функции
Лежандра появляются (через сферические гармоники) в задачах со
сферической симметрией в таких разных областях, как электростатика,
акустика, теплопроводность, перенос нейтронов, квантовая механика
водородоподобного атома. Функции Бесселя (с целыми и полуцелыми
индексами) возникают большей частью в задачах распространения волн, но
более глубокое исследование показывает, что эти функции связаны скорее с
некоторыми типами симметрии, чем с механизмом волновых процессов.
Действительно, волновой процесс в непостоянном (даже сферически
симметричном) потенциальном поле, вообще говоря, включает другие функции,
например функции Лагерра в случае водородоподобных атомов, тогда как
функции Бесселя появляются в случае, когда система инвариантна
относительно полной группы движений, а не только относительно подгруппы
вращений; см. следующую главу. В § 20.5 будет показано, что
тригонометрические функции (в виде е'тф) возникают в представлениях
двумерной группы вращений и, следовательно, связаны с симметрией
относительно некоторой оси.
20.%. Законы преобразования векторов и тензоров
53
20.1. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ
Пусть G - произвольная группа, а X - некоторое n-мерное (часто
комплексное) векторное пространство. Гомоморфизм р: g-*- p(g) группы G на
группу линейных преобразований в пространстве X *) называется п-мерным
представлением группы G (на X). Линейные преобразования обычно
описываются матрицами, и матрицу, описывающую преобразование p(g), также
обозначают через p(g). Поэтому мы можем также рассматривать представление
группы G как гомоморфизм группы G на группу матриц; тогда единица в G,
обратный элемент в G и групповая операция представляются единичной
матрицей, обратной матрицей и умножением матриц. Если гомоморфизм
является изоморфизмом, то представление р называется точным. Если сама
группа G есть группа линейных преобразований в некотором векторном
пространстве Y, то тождественное (единичное) отображение g-*-g группы G
на себя является точным представлением. Однако по многим соображениям и в
этом случае имеет смысл рассматривать также другие представления.
Замечание. Используемые здесь формулировки несколько отличаются от
приведенных в § 18.10, где представление группы G было гомоморфизмом
группы G на любую группу (не обязательно линейных) преобразований.
Если X содержит собственное подпространство Х^, которое инвариантно
относительно всех преобразований р (g), g?G, то представление называется
приводимым, а сужение преобразований p(g) на Xt дает представление
меньшей размерности, называемое подпредставлением. Если таких собственных
подпространств Xj не существует, то представление р называется
неприводимым.
Если G - непрерывная группа (группа Ли), то и от элементов матрицы р (g)
требуется непрерывная зависимость от g. Единственными непрерывными
группами, которые мы будем здесь рассматривать, являются группы матриц,
подобные унитарным, ортогональным и лоренцевым группам. В таком случае
данное требование заключается в том, что элементы матрицы р (g) должны
быть непрерывными функциями элементов матрицы g, и это будет сразу видно
