Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
любой элемент группы р можно записать в виде RtPRIt г; R1 и Rt-вращения в
пространстве, а Р-преобразование вщ
(19.4.1), и поэтому общее преобразование для Е и Н можно m лучить
комбинацией (20.2.1) и (20.2.5).
Одна из целей теории представлений групп заключается в тон чтобы найти
все возможные законы преобразования физически величин, т. е. найти все
возможные представления физически групп симметрии. Как видно из
приведенных выше примерен существуют две основные процедуры: построение
некоторых пред ставлений из более простых при помощи тензоров и
расщеплены представлений на подпредставления (приведение). Однако начина
с § 20.5 описывается еще одна процедура, которая основана н действии
некоторой группы на пространствах функций.
Упражнения
1. Покажите, что представление вращений (20.2.1) при помощи преобра
зоваиий (20.2.2) является гомоморфизмом. Иначе говоря, покажите, что есл!
р (g) - преобразование, индуцированное вращением g в пространстве R(r), т;
P(g)P(g')=P(gg')-
2. Покажите, что симметрия или антисимметрия тензора второго ранг;
сохраняется при вращениях, если использовать закон преобразования
(20.2.2) т. е. покажите, что из Ttj=Tj( (или Тц = -Тjj) для всех i, j
следует Т'ц = Т'ц (или Т'ц = - Т'ц) для всех ",
3. Покажите, что след тензора второго ранга сохраняется при вращв' ниях,
т. е. что
Т и + Т 22-\-Т зз= Т'ц -\-Тт -\-Т 83.
4. Рассмотрим общее линейное преобразование в R" вида (20.2.1), где
iSij)-невырожденная матрица размера пхп. Покажите, что это преобразование
ортогонально (grg = ggT = /) в том и только в том случае, когда след
любого тензора второго ранга инвариантен относительно (20.2.2).
5. Покажите, что можно получить закон преобразования (20.2.5) для
а!ектромагнитного поля при преобразовании Лоренца (19.4.1), преобразуя
антисимметрический тензор второго ранга
0 ~НУ -Ех
-Н. 0 нх ~ЕУ
НУ -Нх 0 -Е,
Ех Еу Ег 0 ,
по закону
0=1Т=1
если координаты преобразуются по правилу
*'"=2 я№.
0=1
20.3. Другие представления групп в физике
57
20.3. ДРУГИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП В ФИЗИКЕ
Теория Паули спина электрона (1927 г.) и релятивистское волновое
уравнение Дирака (1928 г.) привели к отличным от законов преобразования
векторов и тензоров законам преобразования при вращениях и лоренцевых
преобразованиях. В свою очередь это обстоятельство привело к теории новых
объектов, названных спинорами, которые таким образом заняли свое место в
релятивистской квантовой механике наряду со скалярами, векторами и
тензорами; спиноры будут рассмотрены в гл. 22. Законы преобразования для
спиноров дают так называемые двузначные представления групп 50(3) и J?p,
которые, однако, являются истинными представлениями накрывающих групп
50(2) и 57.(2, С), рассмотренных нами в § 19.7 и 19.8. Кажется
парадоксальным тот факт, что эти накрывающие группы вообще появляются в
физических задачах, и, к сожалению, в большинстве книг по квантовой
механике этот вопрос как следует не выясняется. Разрешение этого
парадокса, связанное с именем Г. Вейля, будет описано в гл. 22. В этом
случае имеют место так называемые лучевые представления, которые, не
являясь истинными представлениями (в смысле, определенном в данной
главе), тем не менее вполне пригодны для описания квантовомеханических
явлений. В книге Вейля [1928J показано, что лучевые представления какой-
либо группы полностью определяются истинными представлениями
соответствующих накрывающих групп; следовательно, представления групп
5(7(2) и 57. (2, С) играют определенную роль.
Далее из теории следует, что, поскольку многообразия групп 5(7(2) и
57.(2, С) односвязны, эти группы представляют собой так называемые
универсальные накрывающие группы для групп 50(3) и соответственно (см.
гл. 24 и 27), и отсюда как следствие вытекает тот факт, что не существует
многозначных представлений групп 50(3) и ?v с кратностью, большей двух.
Таким образом, основываясь на теории групп, можно заключить, что векторы,
тензоры и спиноры обеспечивают все возможные законы преобразования
величин в квантовомеханических явлениях.
В классической физике делается различие между полярными векторами
(такими, как импульс и электрическое поле) и аксиальными векторами
(такими, как момент импульса и магнитное поле). Полярные векторы меняют
знак при инверсии х -> -х, тогда как аксиальные не меняют знака.
Следовательно, существуют два (и только два) пути расширения законов
преобразования для векторов относительно полной ортогональной группы
0(3).
Симметрия или антисимметрия многочастичной волновой функции при взаимной
перестановке (или более общей перестановке) тождественных частиц дает
простое представление соответствующей группы перестановок. Более сложные
представления групп перестановок появляются в теории парастатистики.
58
Гл. 20. Представления групп I
20.4. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В таких физических дисциплинах, как квантовая теория пол> встречаются
бесконечномерные представления, например, труп Лоренца и Пуанкаре.
