Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 18

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 162 >> Следующая

гиперболы) и уравнение (19.5.3) лишь исключает одну из этих частей, но не
уменьшает размерность поверхности. Для общей линейной группы GL(n, R)
имеется лишь алгебраическое неравенство detM=?0; для GL(n, С)-
алгебраическое неравенство (RedetM)2 + (ImdetM)2=5^=0.
Упражнение
Найдите алгебраическое уравнение F (х, у, z) = 0, которое определяет
поверхность тора в пространстве V3 так же, как + -1=0 определяет
поверхность шара. Найдите группу, для которой тор служит многообразием в
смысле приведенного выше определения.
R\i+Rl + Rl, = U (=1,2,3,
(19.5.1)
det Я" У
(19.5.3)
46
Гл. 19. Непрерывные группы
19.6. ВНУТРЕННИЕ КООРДИНАТЫ В МНОГООБРАЗИИ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
Хотя в принципе любое многообразие можно рассматривать как n-мерную
поверхность, вложенную в пространство Vm большей размерности, как это
делалось в приведенных выше примерах, такое вложение не всегда просто
найти или описать, и поэтому более естественно описывать многообразие при
помощи внутренних координат, подобных полярным углам 0 и ср на
поверхности сферы, или в общем случае при помощи двух или более
перекрывающихся систем внутренних координат.
Каждое преобразование группы 50 (3) может быть получено путем выбора
фиксированной оси, а затем поворота вокруг этой оси (§ 19.2). Если R-
матрица вращения на угол 0^0 (по часовой стрелке, если смотреть вдоль
положительного направления вектора к) вокруг оси, задаваемой единичным
вектором к, то числа Qkx, Qky, bk2, обозначаемые соответственно через 0*,
0 , 0г, можно взять в качестве внутренних координат в группе 50(3); в
таком случае мы запишем R = R(6), где 0-вектор к0. Для того чтобы такая
система координат была единственной, 0 следует ограничить шаром К = (0:
|0||^зт} в координатном пространстве R8, в котором 0Я, ву, 0г-декартовы
координаты, и кроме того, нужно соблюдать следующее условие:
противоположные концы любого диаметра шара К соответствуют одному и тому
же элементу группы 50(3), а во всех других случаях каждой точке К
соответствует единственный элемент группы 50 (3) и обратно.
Матрица R=R(Q) задается в явном виде через внутренние координаты при
помощи выражения
Чтобы это увидеть, заметим сначала, что поскольку R - невырожденная
нормальная матрица, то ее логарифм Л вполне определен (хотя и
многозначен):
следовательно, Л-антисимметрическая матрица и должна иметь вид
(19.6.1)
/? = еЛ, R-^e-A = RT = eAT\
Л =
То, что а, Ь, с можно взять именно такими, как в (19.6.1), следует из
того, что в таком случае: (1) собственные значения ма-
19.6. Внутренние координаты в многообразии группы вращений
47
трицы Л равны 0 и ± t'0, где 0 = ^0? + 0? + 0|, а, значит, собственные
значения матрицы ехр Л равны 1 и е±т\ (2) первый собственный вектор
матрицы А (так же, как и ехр Л) пропорционален вектору 0; (3) так как Л-
нормальная матрица, ее собственные векторы можно взять в качестве
ортонормированной системы; (4) из этого следует, как и в § 19.2, что R
представляет вращение на угол 0 вокруг оси с направлением вектора 0.
Остается (в виде упражнения) проверить, что в правой системе координат
(19.6.1) определяет R(Q), а не R(-0).
При помощи внутренних координат вх, 0у, вг можно выяснить свойства
поверхности if в пространстве У9, определенной алгебраическими
уравнениями (19.5.1)-(19.5.3). Каждая точка шара К соответствует
единственной точке на поверхности if, исключая противоположные концы
любого диаметра /С, которые соответствуют одной и той же точке
поверхности if, и девять координат точки поверхности if являются
непрерывными функциями внутренних координат в шаре К согласно (19.6.1).
Поэтому if-связная поверхность, поскольку любая точка шара К может быть
связана с любой другой точкой К некой кривой (на самом деле прямолинейным
отрезком), лежащей в К. Однако if не является односвязной.
Пусть на связной поверхности заданы две произвольные точки Л и В и две
любые кривые (пути) Ci и С2, лежащие на этой поверхности и соединяющие А
с В (рис. 19.1). Если Сх, не оставляя поверхности, может быть
преобразована в С2 непрерывной деформацией, то такая поверхность
называется односвязной. Плоскость и сфера односвязны, тогда как
поверхность тора, поверхность цилиндра, круговое кольцо Я; < хг + у% < RI
не являются односвязными. Среди трехмерных тел шар, куб, сферический слой
RI < хг + Уг + z2 < RI односвязны, тогда как тор и крендель не являются
односвязными.
Покажем, что многообразие if группы SO(3) не является односвязным. Пусть
А-точка в if, соответствующая центру шара К,
48
Гл. 19. Непрерывные группы
а В-точка в <?Р, соответствующая двум концам некоторого диаметра шара К
(рис. 19.2). Тогда два радиуса, составляющие данный диаметр,
соответствуют в if двум кривым, или путям, которые соединяют А с В, и
очевидно, что один такой путь
Рис. 19.2.
нельзя непрерывно деформировать в другой. Однако любой другой путь из Л в
Б можно непрерывно деформировать в один из указанных путей.
19.7. ГОМОМОРФИЗМ ГРУППЫ SU (2) НА ГРУППУ ?0(3)
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed