Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, такое представление являете гомоморфизмом группы G на группу
ограниченных линейны преобразований p(g) в банаховом или гильбертовом
пространств X. Если G - непрерывная группа матриц, то необходимо, чтоб1
p(g) было сильно непрерывной функцией g, т. е. требуется, чтоб! для любой
точки и в X
big) и-Р (go) и II--°, когда матричные элементы g сходятся к матричным
элементам g0-
В то время как все неприводимые представления компактны* групп, подобных
SO{3), конечномерны, существуют бесконечно мерные представления групп
Лоренца, Пуанкаре и группы движений, такие, что нет конечномерных
подпространств банахова или гильбертова пространства X, которые были бы
инвариантны относительно всех преобразований p(g),g?G, и, следовательно,
эти представления не могут быть разложены на конечномерные под-
представления. В следующей главе мы опишем бесконечномерные представления
двумерной группы движений М2; эти представления довольно типичны и
включают функции Бесселя. За дальнейшим материалом по данному вопросу, в
частности по представлениям групп Лоренца и Пуанкаре, мы отсылаем
читателя к книгам Бёр-нера [1955], Гельфанда, Минлоса и Шапиро [19581,
Гельфанда, Граева и Виленкина [1962], Виленкина [1965], Уорнера [1972],
Барута и Рончки [1977]; сколь обширен этот материал, можно судить по
объему указанных книг.
В гл. 27 мы приведем пример непрерывной группы (группы Ли), которая не
имеет точного конечномерного представления и поэтому вообще не может быть
реализована в виде группы матриц.
20.5. ПРОСТОЙ СЛУЧАЙ: ГРУППА 50(2)
Общий метод отыскания представлений можно проиллюстрировать на довольно
тривиальном примере группы SO (2), элементами которой являются вращения в
плоскости вокруг начала координат. Любая окружность с центром в начале
координат инвариантна относительно этой группы. Пусть Х"-бесконечномерное
пространство бесконечно дифференцируемых функций /(ф), определенных на
единичной окружности. (Поскольку наши рассуждения носят качественный
характер, мы не будем вводить в этом пространстве норму или топологию.)
Вращению ga на угол а [элементу группы SO (2)] мы ставим в соответствие
линейное преобразование
Ра- /Чф)-7(ф-а) (20.5.1)
20.5. Простой случай: группа SO (2)
59
в пространстве X". Соответствие ga -> ра есть представление группы SO (2)
на пространстве X". (В этом примере равно допустимо и преобразование
f(ф)-<-/(ф + а); см. замечание в следующем параграфе.)
Важный метод нахождения подпредставлений заключается в использовании так
называемых инфинитезимальных операторов представления, таких, как
оператор Т, получаемый в данном случае путем дифференцирования оператора
ра по а при а = 0, a именно
(77)(Ф) = -П<Р), (20.5.2)
так что Т можно рассматривать как предел отношения (1/а)(ра-р0) при а ->
0. Очевидно, что любое подпространство пространства X", инвариантное
относительно всех преобразований ра, будет инвариантно и относительно Т.
Мы ищем инвариантные подпространства как можно меньшей размерности.
Следовательно, мы ищем такую функцию /(ф), чтобы минимальное
подпространство, содержащее f (ф) и инвариантное относительно оператора
Т, не содержало никаких других функций, а если бы и содержало, то столь
мало таких функций, сколь это возможно. В случае одномерного
подпространства Tf должна быть кратна f, скажем Tf - kf; это приводит к
задаче на собственные значения
-Г (ф) = V (ф)- (20.5.3)
В нашем случае, поскольку функции из Х°° должны быть однозначными на
единичной окружности, собственные значения и собственные функции суть
A, = im (т = 0, ±1, ±2, ...), f(<p) = fm(<p)*=e-in4>. (20.5.4)
Для любого а действие преобразования ра, заданного в (20.5.1),
также сводится к умножению каждой собственной функции fm оператора Т на
константу, а именно
(Ра/т)(ф) = е''т"/т(ф)-
Таким образом, для любого m одномерное (комплексное) подпространство
Xm = {Ae~imv, Л?С) (20.5.5)
инвариантно не только относительно Т, но и относительно всех
преобразований ра. По теореме Фурье, любую функцию из X" можно разложить
по данным функциям, а, значит, X" есть линейная оболочка подпространства
Хт.
Теперь будет показано, что единственными конечномерными представлениями
группы SO (2) на X" являются представления, которые могут быть построены
из полученных выше, ибо будет установлено, что любое конечномерное
инвариантное подпростран-
60
Гл. 20. Представления групп I
ство X' пространства Х°° есть прямая сумма конечного числа подпространств
вида (20.5.5). В самом деле, пусть /(ф)-любая функция из X', записанная в
виде ряда Фурье
/(ф ) = 2c/'m(f. (20.5.6)
т
Докажем, что подпространство X' содержит не только эту сумму, но и каждый
ее член cmeim<fl в отдельности; отсюда будет следовать, что X' содержит
подпространство Х_т для каждого т, такого, что ст =^0. Действительно, так
как X' инвариантно относительно всех преобразований (20.5.1), оно
содержит все образы /(ф-а) данной функции f (ср) и поэтому содержит любую
функцию вида
