Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
нагружения x 2 = ±H и зададим материальным точкам смещения (33) уже из их нового положения и т. д. Результат наложения можно проследить, исследуя траектории фиксированных материальных частиц.
1. Вращение вокруг оси 0лз Так, если взять материальную частицу, имевшую в начальный момент времени t = 0 координаты (x °, x 2, x0), то в моменты t = A t, 2A t... ее координаты будут равны
x 1(At) = xj0 + gx2At, x2(At) = x2, x3(At) = x°;
x 1(2At) = x 1(At) - wx2(At)At; (34)
x2(2At) = x2(At) + wx 1(At)At, x3(2At) = x3(At)... .
Рассмотрим теперь процесс, в котором шаг по времени неограниченно уменьшается At ® 0, а w представляет собой неотрицательную постоянную величину. Исходя из (34), легко показать, что траектории материальных частиц будут описываться следующей системой дифференциальных уравнений:
dx 1 dx 2 dx 3
— - v1 - (у - w)x2, — - v2 - wx 1, — - v3 - 0. (35)
Последнее уравнение показывает, что движение является плоским, поэтому достаточно ограничиться исследованием движения только в плоскости x 3 = 0.
Деформации сдвига сводятся к деформациям растяжения и сжатия в ортогональных направлениях, поэтому равенства (13)и(35) — это один и тот же процесс только с разных точек зрения. При у < w материальные точки (35) движутся по эллиптическим траекториям, причем закон движения является кеплеровским. В предельных случаях w ® 0 и w ® у эллипс бесконечно вытягивается и течение переходит в течение Куэтта.
Полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на само классическое течение Куэтта (32). Его исходное определение кажется весьма естественным и предельно простым: берется бесконечный слой |x 2| < |H| и на его границе задается вектор скорости, направленный по касательной к границе. При этом скорость остается постоянной. Однако с более общей точки зрения главными здесь являются не эти обстоятельства, а тот факт, что секториальная скорость постоянна. Иными словами, краевое условие | v |= const, заданное на параллельных прямых, принадлежит к кеплеровскому типу
Рис. 4.7.
| v х r |= const, и именно это обеспечивает однородность деформации внутри области течения (рис. 4.7).
Процессу деформирования (35) соответствует вращение тела вокруг оси 0х 3. Если теперь изменить вектор вращения тела, то придем к новым течениям, которые уже не сводятся к (35).
2. Вращение вокруг оси 0x2. Возьмем материальное волокно, расположенное в квадранте 1, т. е. в области растяжения (см. рис. 4.6). При его повороте вокруг оси 0х2 волокно переходит в квадрант 2 и, следовательно, сжимается. Затем опять переходит в квадрант 1, растягивается и т. д. Квадранты 3 и 4 являются для него недоступными, но чередование деформаций растяжения и сжатия здесь по-прежнему имеет место. Можно ожидать, что и в этом случае будет получено финитное течение, выпишем систему уравнений для рассматриваемой суперпозиции:
dx, dx 2 dx 3
v, = —— = gx 2 + е х3, v 2 = —— = 0, v 3 = —— = - ех 3, (36)
1 dt 32 dt 3 dt 3
где е — скорость поворота вокруг оси 0х2. Решение системы (36) имеет вид
х 1(t) = |х0 + ех0 j sinet + х°coset,
x 2(t) = х 2, (37)
0 i 0 ) 0
x 3(t) = | x 3 + q x 2 I cose t - x jsine t - e x
2
Сделаем его анализ. Во-первых, видно, что точки, которые в начальный момент находились в фиксированной плоскости x 2 = const, в процессе движения эту плоскость не покидают. Во-вторых, в любой момент времени выполняется следующее равенство:
x i(t) +
x 3 (t)+е x 2
= (x 0)
x ,0 )2+1 x0+q x 2
(38)
Следовательно, все точки движутся по круговым траекториям. Причем угловая скорость точки от радиуса не зависит. Это означает, что сечение тела плоскостью x2 = const вращается как жесткое целое вокруг неподвижного центра. Центры расположены на прямой
x 1 = 0,
Y
x 3 = - —x 2,
3 е 2’
(39)
поэтому область деформирования естественно ограничить наклонной цилиндрической поверхностью и двумя доньями. Образующей цилиндрической поверхности является окружность
x 12 + x 32 = 1,
x 2 = 0,
а направляющая — параллельна прямой (39). В процессе деформирования поверхность тела переходит в себя следующим образом: донья вращаются в одну сторону с постоянной угловой скоростью и дают соответствующее смещение боковой поверхности (рис. 4.8). Неформально характер деформирования можно понять следующим образом. Возьмем два жестких параллельных диска, центры которых разнесены по высоте. Предположим, что оба диска вращаются в одну сторону. Пусть на первом диске находится наблюдатель, который следит за относительными смещениями точек второго диска. Вращение медленное, так что центробежными силами можно пренебречь. Если диски вращаются с различными угловыми скоростями, то наблюдатель сможет определить центры обоих дисков и свое положение относительно этих центров. Однако если диски вращаются с одинаковой угловой скоростью и в одном и том же направлении, то относительная скорость для всех положений наблюдателя ста- Рис. 4.8.
