Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что мы располагаем некоторым устройством нагружения, положение которого в пространстве характеризуется двумя ортогональными осями 0х 1, 0х2 (рис. 4.1). Возможности этого устройства следующие. При фиксированном положении осей 0х 1, 0х 2 устройство захватывает заданное тело по всей его границе и затем после включения дает ему однородное растяжение с постоянной скоростью деформации к вдоль 0х 1 и сжатие с такой же скоростью вдоль направления 0х 2. Причем такой режим нагружения может выдерживаться сколь угодно долго. (Это означает, что динамические эффекты отсутствуют и процесс однородного деформирования сохраняет свою устойчивость.)
Включим устройство в момент времени t = t0 и в момент t = t0 + At выключим. За это время точка тела
х 1(t0) = аь х 1(t0) = а1 (1)
получит следующие смещения:
Au1 = к ¦ а1 ¦ At, Au2 = -к ¦ а2 ¦ At. (2)
IWIIWWIIWW
ttftttttttttttt
Рис. 4.1.
Зафиксируем полученную конфигурацию тела и положения всех его внутренних точек. Затем освободим тело от захватов, повернем устройство на угол Др = W • Dt, и опять подвергнем тело растяжению вдоль нового направления 0x 1 и соответствующему сжатию вдоль ортогонального направления 0x 2. Второй шаг нагружения также будем осуществлять в течение времени Dt: от момента t0 + Dt до момента t0 + 2Dt. В результате на прежние смещения (4.1) наложатся новые смещения второго шага и т. д.
Таким образом, мы получаем последовательность двухосных растяжений и сжатий, которые накладываются друг на друга с определенным дискретным поворотом, т. е. в целом получается картина деформирования, имитирующая приливные деформации.
Как реализовать подобный процесс? Здесь многое зависит от выбора исходной формы тела. Для произвольной формы реализация процесса довольно проблематична. Действительно, как осуществить двухосное растяжение и сжатие? Это легко сделать (по крайней мере, в принципе) только для стержня или прямоугольной пластины. Если же тело имеет более сложную конфигурацию, то требование линейной зависимости компонент смещений от координат граничных точек приведет к сложной кинематике устройства нагружения. Вто-
рая проблема состоит в фиксировании деформаций, полученных на очередном шаге нагружения. Для материалов с чисто неупругой реологией полученные деформации являются полностью остаточными и задача состоит только в сохранении полученной формы тела. Если же у материала есть упругая составляющая, то потребуются два устройства нагружения. Одно устройство предназначено для силового фиксирования достигнутых деформаций, а второе — для реализации следующего шага нагружения. Есть, однако, исключительный случай, когда все эти проблемы значительно упрощаются.
Очевидно, что двухосное аффинное растяжение вдоль фиксированных направлений всегда приведет к определенному изменению формы тела. Оказывается, что можно найти такую исходную форму, что ее новая внешняя конфигурация после одного шага нагружения будет отличаться от прежней только жестким поворотом. Здесь никакого парадокса нет. Схематически возможность подобной ситуации показана на рис. 4.2.
Перейдем к обоснованию. Вначале найдем траектории материальных частиц, которые реализуются в описанной выше схеме нагружения.
Введем новую систему координат 0х jх 2, которую будем считать неподвижной и связанной с деформируемым телом. Система 0х 1 х 2 по-прежнему относится к устройству нагружения. Пусть P — угол между осями 0х 1, хj (рис. 4.3). Обозначим через u1, u2; uj, u2 компоненты вектора перемещений в координатах 0х 1 х 2 и 0х jх 2. По формулам векторного проектирования
х 1 = cosPх j + smPх 2, х 2 = - smPх j + cosPх 2;
(3)
Рис. 4.2.
Рис. 4.3.
uj = cosPu1 - sinPu2, u2 = sinbu1 + cosPu2.
(4)
Проследим теперь за перемещениями материальной точки (1). Пусть в начальный момент t0 угол P = P0. Тогда равенства (1), (3) позволяют определить начальные координаты точки в системе 0х jх 2:
Эта формула повторяет (2), но уже в неподвижной системе координат 0х j х 2 .В этой системе положение материальной точки в произвольный момент времени уже можно найти последовательным суммированием смещений по временным шагам. Так, в результате первого шага нагружения точка из положения (1), (5) переместится в следующее положение
На втором шаге нагружения угол P фиксирован и равен
зом, определятся смещения точки на втором шаге и т. д.
Итак, мы здесь имеем дискретный ряд аффинных растяжений и сжатий, которые последовательно накладываются друг на друга и приводят к некоторому процессу деформирования. Общую картину легко понять, если перейти к дифференциальным уравнениям. Действительно, описанная выше процедура суммирования соответствует интегрированию следующих дифференциальных уравнений
aj = cosP0 a1 - sinP0a2, aj = sinP0 a1 + cosP0 a2.
Подставим (2), (5) в (4). В результате придем к формуле
(5)
Duj = (cos2P° aj + sin2P 0 a2) kD t, Du2=(sin2P° aj - cos2P0 a2)kDt.
